Beiträge zur Theorie der \textit{Riemann}schen Zetafunktion. (Q1476605)

In dieser Arbeit werden, wie auch in der nachfolgenden, eine Reihe von Resultaten hergeleitet unter der Annahme, daß die \textit{Riemann}sche Vermutung über die Lage der komplexen Nullstellen der Zetafunktion richtig sei. Diese Sätze sind u. a.: 1. Es gibt eine absolute Konstante \(a\) mit folgender Eigenschaft: für jedes \(\vartheta\) mit \(0 < \vartheta < \frac12\) und jedes reelle \(\tau\) hat die Ungleichung \[ |\log\zeta(s)| > (\log t)^{\alpha\vartheta} \] im Gebiete \(\sigma\geqq 1-\vartheta\), \(t\geqq\tau\) eine Lösung. 2. Bezeichnet \(N(T)\) die Anzahl der Nullstellen von \(\zeta(s)\) im Rechteck \(0\leqq\sigma \leqq 1\), \(0\leqq t\leqq T\), und setzt man \[ N(T)-\left\{\frac{1}{2\pi}\;T\log T-\frac{1+\log 2\pi}{2\pi}\right\}=P(T), \] so ist bekanntlich \(P(T) = O(\log T)\). Bei passender Wahl einer absoluten Konstante \(c\) ist aber \(P(T)\neq O(\log^c T)\), nämlich sogar \[ \liminf_{T=\infty}\;\frac{P(T)}{\log^cT}=-\infty,\quad \limsup_{T=\infty}\;\frac{P(T)}{\log^cT}=+\infty. \] 3. Für jedes \(\nu\geqq 1\) ist auf der Geraden \(\sigma = 1\) \[ \frac{d^\nu\log\zeta(s)}{ds^\nu}=O([\log\log t]^\nu). \] 4. Ist \(\frac12 <\alpha<\beta < 1\), so nimmt \(\zeta(s)\) im Streifen \(a < \sigma < \beta\) jeden Wert außer 0 unendlich oft an.