Sur la fonction \(\zeta(s)\) dans le voisinage de la droite \(\sigma = \frac12\). (Q1476606)

Diese in den belgischen Akademieberichten erschienene gemeinsame Arbeit eines deutschen, eines dänischen und eines englischen Mathematikers fördert sehr wesentlich die Kenntnis der \textit{Riemann}schen Zetafunktion, allerdings unter der Annahme der Richtigkeit der \textit{Riemann}schen Vermutung, daß alle komplexen Nullstellen der Zetafunktion den reellen Teil \(\frac12\) haben, was bei den folgenden Sätzen zu beachten ist. In dem ersten, im wesentlichen von \textit{Bohr} herrührenden Kapitel wird bewiesen, daß sich unter dieser Annahme die \textit{Riemann-v. Mangoldt}sche Formel \[ N(T)=\frac{1}{2\pi}\;T \log T- \frac{1+\log 2\pi}{2\pi}\;T + O(\log T) \] für die Anzahl \(N(T)\) der im Rechteck \((0\leqq 1, 0\leqq t\leqq T)\) gelegenen Nullstellen von \(\zeta(\sigma+ti)\) dahin verfeinern läßt, daß \(o(\log T)\) statt \(O(\log T)\) gesetzt werden darf. Das hat zur Folge, daß nun auch die Anzahl der Nullstellen für ein Ordinatenintervall asymptotisch angegeben werden kann; es ist für festes \(\delta >0\) \[ \lim_{T=\infty}\;\frac{N(T + \delta)-N(T)}{\log T} = \frac{1}{2\pi}\;\delta. \] In dem zweiten (\textit{Landau}schen) Kapitel wird bewiesen: 1. Ist \(\alpha\) eine beliebig komplexe Zahl \(N(a,T)\) die stets endliche Anzahl der Wurzeln von \(\zeta(s)=a\) im Streifen \(1\leqq t\leqq T\), \(T>1\), so ist, falls \(a\neq 1\): \[ N(a,T)=\frac{1}{2\pi}\;T\log T-\frac{1+\log 2\pi}{2\pi}\;T+O(\log T), \] dagegen für \(a=1\): \[ =\frac{1}{2\pi}\;T\log T- \frac{1+\log 4\pi}{2\pi}\;T + O(\log T), \] und dies unabhängig von der \textit{Riemann}schen Annahme. -- 2. Unter der Voraussetzung der Richtigkeit dieser Annahme ist \[ \lim \varPhi(x)/\varPsi(x) = 1, \] wenn \(\varPhi(x)\) die Anzahl der Wurzeln von \(\zeta(s) = a\) (\(a\) beliebig) im Kreise \(| s|\leqq x\), \(\varPsi(x)\) die Anzahl derjenigen dieser Wurzeln bedeutet, für die noch \(\frac12-\delta < \sigma< \frac12 + \delta\) ist. In dem von \textit{Littlewood} stammenden dritten Kapitel wird die sehr bemerkenswerte Entdeckung gemacht: Ist \(A>0\), \(\delta>0\), so läßt sich \(\tau_1=\tau_1(A,\delta)\) so angeben, daß für jedes \(\tau > \tau_1\) die Funktion \(\zeta(s)\) im Kreise \(| s -(\frac12 + \tau i)| < \delta\) jeden Wert \(a\) mit \(| a | < A\) annimmt, falls \textit{Riemann}s Annahme richtig ist.