Recherches sur les suites régulières et les nombres de \textit{Bernoulli} et d'\textit{Euler}. (Q1476639)

Die \textit{Bernoulli}schen Polynome werden definiert durch die Funktionalgleichungen \[ B_n'(x) =B_{n-1}(x), B_n(x) - B_n(x - 1) = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\,,B_0(x)=1, \] und ähnlich die \textit{Euler}schen Polynome \(E_n(x)\) durch \[ E_n(x)+E_n(x-1)=\frac{x^n}{n!}\quad (n\geqq 0). \] Sie genügen beide der Funktionalgleichung \[ (-1)^n f(-x - 1)= f(x). \] Ein Polynom, das dieser Gleichung genügt, wird regulär genannt. Eine Folge \(f_0,f_1,\dots\) von regulären Polynomen (\(f_0\)=const), für die überdies bei \(n\geqq 1\) \[ f_n'(x)=f_{n-1}(x) \] ist, heißt eine reguläre Folge. Indem sehr allgemeine Klassen solcher regulären Folgen aufgestellt werden wird eine große Anzahl von Formeln erhalten, bei denen die \textit{Bernoulli}schen und die \textit{Euler}schen Zahlen eine dominierende Rolle spielen.