Notes on some points in the integral calculus. XXXVII. On the region of convergence of \textit{Borel}'s integral. (Q1476733)

\textit{Borel}'s mit einer Potenzreihe (1) \(\sum a_n x^n\) zusammenhängendes Integral ist \[ (2)\qquad f(x) =\int^\infty_0 e^{-t} u(tx)dt,\text{ wo }u(x)=\sum\;\frac{a_nx^n}{n!}\,. \] Wenn die Potenzreihe (1) einen positiven Konvergenzradius hat, so ist der Konvergenzbereich des Integrals (2) das \textit{Borel}sche Summabilitätspolygon. Das Integral ist überall innerhalb des Polygons und nirgends außerhalb desselben konvergent. Es stellt die in üblicher Weise durch die Reihe (1) definierte analytische Funktion dar. Der Zweck der Note besteht darin, an Beispielen zu zeigen, daß \textit{Borel}s Integral in zwei verschiedenen Gebieten der Ebene, die nur den Nullpunkt als einen gemeinschaftlichen Grenzpunkt haben, konvergieren und in diesen beiden Gebieten zwei verschiedene analytische Funktionen darstellen kann.