Notes on some points in the integral calculus. XXXVIII. On the definition of an analytic function by means of a definite integral. (Q1476734)

I. Es sei \(f(x,y)\) eine Funktion der beiden komplexen Veränderlichen \(x\) und \(y\), die stetig ist, wenn \(x\) sich längs einer regulären Kurve \(C\) ändert und \(y\) über ein Gebiet \(S\) weg. Ferner sei \(f(x,y)\) für jeden einzelnen Wert von \(x\) durchweg analytisch in \(S\). Dann ist \[ F(y)=\int_C f(x,y)dx \] durchweg analytisch in \(S\) und \[ F(y)=\int\frac{\partial f}{\partial y}\;dx, \] ein Satz, der schon in \textit{Osgood}s Lehrbuch der Funktionentheorie 1, 260 steht. II. Es sei \(C\) eine solche Randkurve, daß die Randkurve \(C(R,\delta)\), gebildet durch die Punkte von \(C\), für welche \(| x | \leq R\), \(| x- x_i |\geqq \delta\) ist, sich aus einer endlichen Anzahl regulärer Kurven zusammensetzt, deren jede im Verein mit dem Gebiet \(S\) und der Funktion \(f(x,y)\) die Bedingungen von Satz I erfüllt. Ferner sei das Integral \(\int_G f(x,y) dx\) gleichmäßig konvergent in jedem Bereich innerhalb \(S\). Dann gelten die Folgerungen von Satz I.