Oscillating Dirichlet's integrals. II (Q1476735)

Fortsetzung der Abhandlung [Quart. J. 44, 1--40 (1912)], über welche im JFM 43.0364.01, berichtet wurde. Verf. versucht eine strengere Darstellung der Du Bois-Reymondschen Untersuchungen über das Verhalten des Dirichletschen Integrals \[ J(\lambda)=\int^\xi_0 \frac{\sin\lambda x}{x} f(x)\,dx\text{ für }\lambda=\infty \] bei der Annahme, daß die Funktion \(f(x)\) in der Umgebung des Punktes \(x = 0\) oszilliert. Er setzt \[ f(x)=\rho\;\overset\cos\sin\;\sigma(x), \] wo \(\rho\) und \(\sigma\) zwei monotone Funktionen sind, von denen die letztere bei zu Null konvergierendem \(x\) unendlich wächst. Von den drei Hauptfällen: \[ \left.\begin{aligned} & \text{A.}\quad \sigma(x)\text{ wächst rascher als }\log\,\frac1x\,,\\ & \text{B.}\quad \sigma(x)\text{ wird von derselben Art unendlich wie }\log\,\frac1x\,,\\ & \text{C.}\quad \sigma(x)\text{ wächst langsamer als }\log\,\frac1x\,,\end{aligned}\right\}\text{ bei zu Null konvergierendem }x \] hat Verf. die Fälle \(A\) und \(B\) in der früheren Arbeit behandelt; in der vorliegenden Fortsetzung beschäftigt er sich mit dem Falle \(C\), nachdem er einige erläuternde Bemerkungen zu der ersten Arbeit hinzugefügt hat. Im Falle \(C\) sind naturgemäß für die Konvergenz des Dirichletschen Integrals viel geringere Einschränkungen bezüglich des Verhaltens der Funktion \(\rho(x)\) an der Stelle \(x = 0\) notwendig, als in den Fällen A und B. In bezug hierauf werden zwei sehr beachtenswerte Theoreme aufgestellt, welche er als Theoreme \(C\) und \(C'\) bezeichnet. Die Wiedergabe derselben hier würde zu viel Platz beanspruchen, da derselben eine Erklärung der vom Verf. benutzten abkürzenden Zeichen vorauseilen müßte; wir begnügen uns daher hier mit der Anführung einiger bemerkenswerten Resultate, welche aus den Hardyschen Theoremen folgen: Das Integral \[ A(\lambda)=\int^\infty_0 x^\nu\sin\left(\frac mx\right)\frac{\sin \lambda x}{x}\,dx \] ist konvergent, wenn \(-2 <\nu <+ 2\). Für \(\nu>-\frac12\) konvergiert es mit unendlich wachsendem \(\lambda\) zu Null; für \(\nu\le -\frac12\) ist: \[ A(\lambda)=\frac12\sqrt{\pi} \,m^{\frac{\nu}{2}-\frac14}\,\lambda^{-\frac{\nu}{2}-\frac14}\,\left\{\sin \left(2\sqrt{\lambda m} -\frac\pi 4\right)+o(1)\right\}. \] Das Integral \[ B(\lambda)=\int^\infty_0 x^\nu \cos\left(\frac mx\right)\frac{\sin \lambda x}{x}\,dx \] ist konvergent, wenn \(-2 <\nu < +1\). Für \(\nu >-\frac12\) konvergiert es zu Null, und für \(\nu\leq -\frac12\) ist: \[ B(\lambda)=\tfrac12\sqrt{\pi} \,m^{\frac\nu2-\frac14}\,\lambda^{-\frac\nu2-\frac14}\left\{\cos \left(2\sqrt{\lambda m}-\tfrac\pi4\right)+o(1)\right\}. \] .