Lösung zu 428 (\textit{G. Pólya}). (Q1476739)

``Unter allen stetigen und wesentlich positiven (d. h. nirgends verschwindenden) Funktionen \(f(x)\), deren Integral einer gegebenen Größe \(A\) gleich ist: \(\int^a_b f(x)dx = A\), ist diejenige zu suchen, die das Integral \(\int^a_b f(x)\log f(x) dx\) zu einem Minimum, bzw. diejenige, die das Integral \(\int^a_b p(x)\log f(x) dx\) zu einem Maximum macht (\(p(x)\) eine stetige, wesentlich positive Funktion). Man weise noch nach, daß das Extrem in beiden Fällen nur für eine einzige unter allen zulässigen Funktionen erreicht wird.'' \[ \text{Man findet }f(x) =\frac{A}{b-a}\text{ und }f(x) = \frac{A}{\int^a_b p(x)dx}\,. \] .