Berechnung eines bestimmten Integrals. (Q1476758)

Es handelt sich um das Integral \[ \int \int \cdots \int dx_1dx_2\dots dx_n, \] erstreckt über das Gebiet \(-a_i\leqq x_i\leqq a_i\) \((i=1,2,\dots,n)\); \(-a_{n+1}\leqq x_1+x_2+\cdots +x_n\leqq a_{n+1}\). Durch Abzählung von Gitterpunkten findet \textit{Pólya} \(\frac{2^{n+1}}{\pi}\int^\infty_0 \frac{\sin a_1x\sin a_2x\dots \sin a_{n+1}x}{x^{n+1}}\,dx\) und durch Residuenrechnung \[ \frac{1}{n!}\textstyle\sum{}'(-1)^\nu(\varepsilon_1a_1+\varepsilon_2a_2+\cdots+\varepsilon_{n+1}a_{n+1})^n. \] Hierin sind die \(\varepsilon\) alle \(\pm1\), \(\nu\) ist die Anzahl derjenigen, die gleich \(-1\) sind, und \(\sum{}'\) bedeutet die Summation über die \(2^n\) Ausdrücke \(\varepsilon_1a_1+\varepsilon_2a_2+\cdots+\varepsilon_{n+1}a_{n+1}\), die man erhält, indem man aus jedem Paare von Ausdrücken \(\varepsilon_1 a_1+\varepsilon_2 a_2+\cdots+ \varepsilon_{n+1}a_{n+1}\) und \(-\varepsilon_1\cdot a_1-\varepsilon_2\cdot a_2-\cdots - \varepsilon_{n+1}\cdot a_n\) einen nicht negativen beibehält. (Vgl. das vorangehende Referat (JFM 44.0357.01)).