Über das Verhalten der Integrale einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung einer Unbestimmtheitsstelle. (Q1476812)

Die im J. für Math. 120, 1-26 u. 122, 73-83 (1899 u. 1900) unter gleichem Titel erschienenen Arbeiten des Verf. werden in der vorliegenden Abhandlung im Hinblick auf wichtigere neuere Untersuchungen von \textit{Watson} über asymptotische Reihen (Lond. Phil. Trans. (A) 211, 279-313,1911) weitergeführt. In dem früheren Aufsatz (120, 1 ff.) wurde die lineare Differentialgleichung \[ \text{(D)}\qquad x^{k+1}\;\frac{dy}{dx}+g(x)y=h(x) \] betrachtet, worin \(k > 0\) eine ganze positive Zahl, \(g(x) = 1+a_1x + \cdots+ a_kx^k\) und \(h(x) = b_0 + b_1 x + b_2x^2+\cdots\) eine konvergente Potenzreihe von \(x\) ist. Die Gleichung (D) wird formell befriedigt durch die i. a. divergente Reihe \(S =\sum^\infty_{n=0}\,c_n x^n\), deren Koeffizienten sich in einfacher Weise durch die \(a_i\) und \(b_i\) ausdrücken lassen. A. a. 0. sind dann \(k\) ausgezeichnete, durch Quadraturen erhaltene Integrale \(\eta_m\) der Gleichung (D) betrachtet worden. Setzt man \[ \eta_m=c_0 + c_1x +\cdots + c_nx^n +\gamma_n x^{n+1}\quad (n = 0, 1, 2,\dots), \] so bleibt \(|\gamma_n|\) unter einer endlichen Größe, wenn \(| x|\) hinreichend klein angenommen wird, während \(x\) innerhalb eines gewissen Sektors bleibt; oder anders ausgedrückt: die Funktion \(\eta_m\) wird in dem bezeichneten Sektor durch die Reihe \(S\) asymptotisch dargestellt. -- Nach \textit{Watson} ist es wichtig, die Abhängigkeit des Reihenkoeffizienten \(c_n\) und der im Restglied enthaltenen Größe in vom Index \(n\) zu untersuchen oder, wie \textit{Watson} sagt, die ``Charakteristiken'' der asymptotischen Reihe zu bestimmen. Dies wird für die Reihe \(S\) in \S\ 1 durchgeführt. Das \textit{Laplace}sche Integral, welches sich im Falle \(k = 1\) nach der Theorie von \textit{Borel} und \textit{Watson} aus der asymptotischen Reihe \(S\) herleiten läßt, kann auch unmittelbar aus der Differentialgleichung (D) erhalten werden, wie in \S\ 2 gezeigt wird; für den Fall \(k > 1\) ergibt sich in \S\ 3 eine Abänderung der \textit{Laplace}schen Integraldarstellung. In \S\ 4 wird andeutungsweise gezeigt, wie sich für die Integrale \(\eta_m\) \textit{konvergente Fakultätenreihen} aufstellen lassen (vgl. den Aufsatz des Verf. Math. Ann. 71, 510-532, 1912, und \textit{Watson}, Palermo Rend. 34, 1-48, 1912).