Sur une forme de l'intégrale générale d'une équation différentielle dans le voisinage de certaines valeurs singulières. (Q1476818)

Es sei vorgelegt die Differentialgleichung \[ (1)\qquad (px+\cdots)dy+(qy+\cdots)dx=0 \] \[ \text{(nur die Glieder niedrigster Dimension stehen da),} \] wo \(p\) und \(q\) positive ganze Zahlen und die Koeffizienten von \(dx\) und dy Polynome oder ganze Potenzreihen in \(y\) und \(x\) sind; die zugehörige partielle Differentialgleichung lautet: \[ (2)\qquad (px+\cdots)F_x'-(qy+\cdots)F_y'=0. \] Man kann in einem besonderen Falle (dem Falle eines ``Mittelpunktes'') die Gleichung (2) durch eine Entwicklung von der Form \[ (3)\qquad F = x^qy^p + \cdots \] erfüllen. Diese Funktion \(F\) läßt sich überdies in diesem Falle stets in die Form \(F\equiv A^qB^p\) setzen, wo \(A = yx+\cdots,\) \(B =y +\cdots\) ist. Im allgemeinen ist es dagegen unmöglich, eine Lösung von der Form (3) für die Gleichung (2) zu bestimmen. Verf. zeigt nun in der vorliegenden Arbeit, daß man in allen Fällen eine Lösung von der Form \[ (4)\qquad F\equiv \frac{A^{rq}B^{rp}}{1+ C + A^{rq}B^{rp}\log A^a B^b} \] finden kann, wo \(r\) eine ganze Zahl ist, \(a\) und \(b\) bestimmte Konstanten sind, \(A\) und \(B\) Reihen der oben angegebenen Form sind; \(C\) ist eine ganze Potenzreihe in \(x\) und \(y\) ohne konstantes Glied. Die Reihen \(A\) und \(B\) können immer für hinreichend kleine \(| x |\) und \(| y|\) als konvergent angenommen werden; dagegen kann die Reihe \(C\) divergent sein, wie Verf. an einem Beispiel zeigt. -- In dem Falle, wo \(C\) konvergent ist, beweist Verf. mittels des Integrals (4), das vor allen bisher bekannten Integralformen den Vorzug der größten Einfachheit und der weitesten Geltung besitzt, folgendes Theorem: ``Wenn man irgendeine Lösung der Gleichung (1) in der Umgebung von \(x=0\), \(y=0\) betrachtet, so kann man gleichzeitig \(x\) und \(y\) gegen Null konvergieren lassen.'' Übrigens gilt dieses Theorem in allen Fällen, wie Verf. bereits früher bewiesen hat.