Über Differentialgleichungen erster Ordnung, die nicht nach der Ableitung aufgelöst sind. (Q1476823)

Ist \(F(x, y, y')\) z. B. eine ganze rationale Funktion \(n\)-ten Grades von \(y'\) und zerlegt man \(F\) in Linearfaktoren: \[ F(x,y,y')\equiv (y'- f_1(x,y)) (y' - f_2(x,y))\dots (y' - f_n(x,y)), \] so wurde bisher allgemein angenommen, daß man, um alle Integrale der Differentialgleichung \(F(x, y, y') = 0\) zu erhalten, nur nötig hat, die n Gleichungen \(y'=f_\nu(x,y)\) \((\nu=1,2,\dots,n)\) zu integrieren. Verf. zeigt an einfachen Beispielen, daß man auf diese Weise nicht notwendig alle Integrale erhält, und stellt Kriterien dafür auf, daß dies der Fall ist. Zunächst ergibt sich, daß durch jedes \textit{reguläre} Linienelement \(\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\neq 0\right)\) keine anderen Integralkurven von \(F = 0\) gehen als die, welche auch der ``aufgelösten'' Gleichung \(y' = f(x,y)\) genügen; insbesondere gehen durch einen Punkt, der nicht der Diskriminantenkurve angehört, keine anderen Integralkurven. Schwieriger ist die Sachlage, wenn es sich um ein \textit{singuläres} Linienelement handelt. In diesem Falle kann man vermuten, daß keine weiteren Integrale existieren, wenn die Differentialgleichung in \(y'\) algebraisch und in \(x, y\) wenigstens analytisch ist. Der Beweis ist dem Verf. nur unter einigen einschränkenden Voraussetzungen gelungen, und er beschränkt sich in der vorliegenden Arbeit, um das Prinzip darzulegen, auf Gleichungen zweiten Grades, für die er zwei Kriterien aufstellt.