Sur l'intégration des équations linéaires aux différences finies par des séries de facultés. (Q1476829)

In der Absicht, die Theorie der linearen Differenzengleichungen auf einen ähnlichen Grad der Vollkommenheit zu bringen, wie dies \textit{L. Fuchs} für die linearen Differentialgleichungen getan hat, betrachtet Verf. folgende Form der Gleichung: \[ (1)\qquad \sum^{i=k}_{i=0} P_i(x)\varDelta^i_{-\omega} u(x)=0; \] darin ist \[ \varDelta^i_{\omega}u(x)=\frac{u(x + i\omega) - ({i\choose 1}) u(x+(i-1)\omega) +\cdots+(-1)^i u(x)}{\omega^i}\,, \] wo \(\omega\) eine beliebige komplexe Zahl bedeutet. Die Koeffizienten \(P_i(x)\) sind solche Funktionen, daß die \(x^{-i} P_i(x)\) \((i =1, 2,\dots,k)\) in Fakultätenreihen von der Form \[ a_{i_0}+\sum^\infty_{s=0}\;\frac{\text{sl}\, a_{i_{s+1}}}{x(x+\omega) \cdots (x+s\omega)}\quad (a_{k_0}\neq 0) \] entwickelt werden können. (Kap. I bringt das Notwendigste über Fakultätenreihen. Es existiert ein Fundamentalsystem von Lösungen, welche sich durch Entwicklungen von der Form \[ (2) \quad u_i(x)=\left(\frac1x\right)^\varrho\left(\varphi_0(x)+\varphi_1(x) \log\left(\frac1x\right)+\cdots+\varphi_n(x)\log^n \left(\frac1x\right)\right) \] darstellen lassen, darin sind \(\varphi_0(x),\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x),\dots,\varphi_n(x)\) Fakultätenreihen, die in einer gewissen Halbebene \({\mathfrak R}\left(\frac x\omega\right)> \text{const.}\) konvergieren, während die Zahl \(\varrho\) durch eine ``determinierende Gleichung'' bestimmt wird (Kap. II). Diese Differenzengleichungen sind die einfachsten ihrer Art und bilden eine wohlbestimmte Klasse; in der Tat beweist Verf. im Kap. IV, daß die Differenzengleichungen (1) die allgemeinsten sind, welche Lösungen von der Form (2) besitzen. Wenn \(\omega\) gegen Null konvergiert, geht die Differenzengleichung (1) in eine Differentialgleichung derselben Ordnung über, für die \(x=\infty\) ein regulärer singulärer Punkt ist. -- Der Ausdruck (2) stellt \(u_i(x)\) nur in einem Teil seines Existenzbereiches dar; Verf. zeigt im Kap. III, wie man \(u_i(x)\) analytisch fortsetzen kann. Wird \(P_k(x)=1\) vorausgesetzt, und sind \(\beta_1,\beta_2,\dots\) die singulären Punkte der übrigen Koeffizienten \(P_0(x),\dots,P_{k-1}(x)\), so ergibt sich, daß die Lösungen \(u_i(x)\): keine anderen singulären Punkte besitzen als die Punkte \[ \beta_i-s\omega\quad (i= 1,2,3,\dots;\;s =k, k+1,k+2,\dots), \] in deren Umgebung sie sich wie rationale Funktionen der Koeffizienten \(P_i(x)\) verhalten. Dazu tritt noch der Punkt \(x=\infty\), dessen Singularität von komplizierterer Natur ist; im Kap. V wird das Verhalten der Lösungen \(u_i(x)\) im Unendlichen eingehend untersucht. Im Kap. VI werden einige Beispiele behandelt. -- Als Hülfsmittel der Untersuchung benutzt Verf. einerseits gewisse Sätze über Fakultätenreihen, die von \textit{Jensen, Nielsen, Pincherle, Landau} und ihm selbst aufgestellt worden sind, anderseits einige Kunstgriffe, wie sie \textit{L. Fuchs} und \textit{Frobenius} bei der Untersuchung der Lösungen linearer Differentialgleichungen benutzt haben, insbesondere den Gedanken von \textit{Frobenius}, die oben erwähnte Zahl \(\varrho\) als Hülfsvariable einzuführen. -- Ein Auszug der vorliegenden Arbeit erschien in den C. R. 149, 841-843 (F. d. M. 40, 387 (JFM 40.0387.*), 1909).