Recherches sur les nombres de \textit{Bernoulli}. (Q1476852)

Der Kern der in dieser tiefgehenden Studie zugrunde gelegten Methode ist im wesentlichen der folgende: Bezeichnet man mit \(\varphi_0(x), \varphi_1(x), \varphi_2(x),\dots,\varphi_n(x),\dots\) die \textit{Bernoulli}schen Polynome, welche den Differenzengleichungen: \[ \varphi_n(x) - \varphi_n(x - 1) =\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \] genügen, so ist das allgemeinste Polynom, welches der Differenzengleichung: \[ f(x)- f(x -1)=\sum^{s=n-1}_{s=0} a_{n,s}x^{n-s-1}\quad (n\geqq 1) \] genügt, von der Form: \[ f(x) = K+\sum{s=n-1}_{s=0} a_{n,s}(n-s-1)! \varphi_{n-s}(x), \] wo \(K\) eine willkürliche Konstante ist. Bezeichnet man mit \(\chi_0(x),\chi_1(x),\chi_2(x),\dots, \chi_n(x), \dots\) die \textit{Euler}schen Polynome, welche den Differenzengleichungen \[ \chi_n(x)+\chi_n(x-1)=\frac{x^n}{n!}\quad (n\geqq 0) \] genügen, so ist das einzige Polynom, welches der Differenzengleichung: \[ g(x) + g(x-1)=\sum^{s=n}_{s=0} c_{n,s} x^{n-s} \] genügt, das folgende: \[ g(x) =\sum^{s=n}_{s=0} c_{n,s}(n-s)! \chi_{n-s}(x). \] Diese zwei Sätze werden zur Ableitung einer großen Zahl von Entwicklungen, im besonderen von linearen und nicht linearen Rekursionsformeln für die \textit{Bernoulli}schen Zahlen verwandt, die teilweise bereits bekannt, teilweise aber neu sind. Die interessantesten Formeln sind am Schlusse in einer Tabelle (von 107 Rekursionsformeln) zusammengestellt; für die mit dem großen \textit{Fermat}schen Problem zusammenhängenden Untersuchungen wird die Beachtung vieler dieser Rekursionsformeln oft bequem sein. .