Über das Nichtverschwinden einer Determinante nebst Bemerkungen über Systeme unendlich vieler linearer Gleichungen. (Q1476862)

Ist in einer \(n\)-reihigen Determinante \(A = | a_{ik}|\) jedes Diagonalglied \(a_{ii}\) absolut genommen größer als die Summe der absoluten Beträge aller übrigen Elemente seiner Zeile, \[ |\alpha_{i1}| +\cdots+| a_{i,i-1}| + | a_{i,i+1}|+\cdots +| a_{i,n}|\leqq \varepsilon| a_{ii}|\quad \text{(wo }\varepsilon<1), \] so ist \(A\neq 0\) [soweit steht der Satz, wie der Verf. nachträglich bemerkt, schon bei \textit{Hadamard}, Leçons sur la propagation des ondes, p. 13-14] und genauer \[ | A|\geqq | a_{11}\dots a_{nn}| e^s(1-\varepsilon)^{s/\varepsilon}, \text{ wo } s=\sum_{i\neq k}\left|\frac{a_{ik}}{a_{ii}}\right|. \] Der Satz ist so formuliert, daß er für unendliche Determinanten, die ``normal'' sind, seine Gültigkeit behält. Der Beweis beruht auf der \textit{Fredholm}schen Entwicklung der Determinante \(|\frac{a_{ik}}{a_{ii}}|\). Auch die \textit{Neumann}sche Entwicklung (geometrische Reihe) dieser Determinante konvergiert unter der obigen Voraussetzung stets, woraus Folgerungen über die eindeutige Auflösbarkeit des linearen Gleichungssystems mit den Koeffizienten \(a_{ik}\) gezogen werden.