Sopra equazioni integro-differenziali aventi i limiti costanti. (Q1476881)

Im Falle der Integraldifferentialgleichung mit einer ungeraden Anzahl unabhängiger Veränderlicher vom Typus \[ (1)\qquad \frac{\partial^2 u(x,y,z| t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+ \int^1_0\left\{\frac{\partial^2u(x,y,z| \tau)}{\partial x^2}\;f(t,\tau)+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\;\varphi(t,\tau)+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\;\psi(t,\tau) d\tau\right\}=0 \] stellt sich der Anwendung der von \textit{Volterra} (Rom. Acc. L. Rend. (5) 201, 95-99; F. d. M. 42, 377 (JFM 42.0377.*), 1911) gegebenen Methode insofern eine besondere Schwierigkeit entgegen, als die Grundlösung von (1) \[ v=c\left(\frac{x^2}{1+m_1}+\frac{y^2}{1+m_2}+\frac{z^2}{1+m_3} \right)^{-1/2} \] der zugehörigen Differentialgleichung \[ (1+m_1)\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +(1+m_2)\, \frac{\partial^2u}{\partial y^2} +(1+m_3)\,\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0 \] keine rationale Funktion der Parameter \(m_1,m_2,m_3\) mehr ist. Ersetzt man daher \(m_1,m_2,m_3\) durch die (vertauschbaren) Kerne \(f, \varphi, \psi\), die Multiplikationen usw. durch die entsprechenden Kompositionen, so geht \(v\) in die Grundlösung von (1) \[ V(t)=\tfrac1r\, F(t) +\int^1_0\,F(\tau)\pi(x,y,z| t,\tau)d\tau \] über, wobei aber \(\pi\) (entsprechend der in \(v\) auf tretenden Wurzeloperation) durch eine quadratische Integralgleichung bestimmt wird. Die notwendige Untersuchung, ob und wann diese Integralgleichung eine samt ihren Ableitungen mit \(f,\varphi,\psi\) vertauschbare Lösung besitzt, stellt \textit{Volterra} nur für den Fall dar, daß diese Kerne als Aggregate endlichvieler Funktionen von \(s\) und \(t\) allein gegeben sind; da wird das Problem zu einem rein algebraischen für die endlichen Koeffizientenmatrizen der Entwicklungen (vergl. \textit{Volterra}, Rom. Acc. L. Rend. (5) \(20_1\), 521-527; F. d. M. 42, 376 (JFM 42.0376.*), 1911).