Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di \(2^{\text{a}}\) specie. (Q1476887)

Die Arbeit zieht solche komplexen symmetrischen Kerne (die zudem samt ihrem Quadrat integrabel sind) in Betracht, deren sämtliche Eigenfunktionen (einschließlich der zum Eigenwert \(\infty\) gehörigen) aus den Funktionen eines reellen Orthogonalsystems bestehen, während die Eigenwerte komplex sein können; auf solche Funktionen sind die bekannten Sätze aus der Theorie reeller symmetrischer Kerne unmittelbar übertragbar. Im Bereich dieser Kerne soll die symbolische Gleichung \(K^n(x,y) = H(x,y)\) bei gegebenem \(H\) gelöst werden (\(K^n\) bedeutet den \(n\)-fach iterierten Kern); notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit wird, daß \(\sum_{(\mu)}\;\frac{1}{|\sqrt{\lambda_\mu}|^2}\) konvergiert, wenn \(\lambda_\mu\) die Eigenwerte von \(H\) durchläuft, und \(K\) hat zu Eigenwerten die Werte \(\root n\of{\lambda_\mu}\) -- mit willkürlicher Verfügung über die hinzutretende Einheitswurzel --, zu Eigenfunktionen im wesentlichen die von \(H\). Formal ganz entsprechend der \textit{Lagrange}schen Lösung der entsprechenden algebraischen Gleichungen, läßt sich hierauf die Lösung der Gleichungen \[ K^2+pK+q= 0,\quad K^3 +pK+q=0 \] zurückführen, wo die Multiplikation wiederum symbolisch als Zusammensetzungsoperation der Kerne zu verstehen ist; \(p\) und \(q\) sollen symmetrische Kerne der geschilderten Art sein, und die Auflösung beruht auf der Bemerkung, daß sie miteinander und mit \(K\) vertauschbar sein müssen (daß also alle drei Kerne dasselbe Eigenfunktionensystem haben), wenn die Gleichungen überhaupt eine symmetrische Lösung besitzen sollen.