Sur l'équivalence du problème de \textit{Dirichlet} et du problème du calcul des variations considéré par \textit{Riemann}. (Q1476941)

An die Stelle des \textit{Dirichlet}schen Problems, eine harmonische Funktion in einem beschränkten Bereiche \(D\) zu finden, die auf dem Rande \(F\) von \(D\) gegebene stetige Werte annimmt, hat \textit{Riemann} die Untersuchung einer in \(D\) und auf \(F\) stetigen Funktion gesetzt, die in \(D\) differenzierbar ist, auf \(F\) gegebene Werte annimmt und ein Integral zu einem Minimum macht, das in dem Falle zweier Veränderlichen so aussieht: \[ \iint_D\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right]dx\,dy=I(f). \] \textit{Hadamard} hat einen Fall angegeben, in welchem die beiden Probleme nicht gleichwertig sind, nämlich den, wo das \textit{Riemann}sche Integral für keine der Funktionen des betrachteten funktionalen Gebietes einen Sinn hat. Bei den anderen Fällen sind die beiden Probleme zwar gleichwertig, aber der klassische Beweis ist nicht ganz genügend; er benutzt nämlich die auf den Bereich \(D\) angewandte \textit{Green}sche Formel, und dies setzt voraus, daß \(F\) eine Normale hat, und daß die Funktionen, mit denen man es zu tun hat, gewisse Derivierte auf \(F\) haben. Der Verf. hat auf diese Schwierigkeit schon in Palermo Rend. hingewiesen und zeigt hier, wie man sie beseitigen kann.