Sui criterii sufficienti per il massimo e per il minimo nel calcolo delle variazioni. (Q1476954)

Diese Arbeit bringt die ausführliche Durcharbeitung eines vom Verf. schon früher angegebenen Gedankens (F. d. M. 42, 398 (JFM 42.0398.*), 1911), dessen Zweck es ist, die hinreichenden Bedingungen für ein starkes Extremum ohne Benutzung eines Extremalenfeldes zu erlangen. Es beweist, zunächst für das einfachste Problem mit festen Endpunkten, durch einfache Umformung der Integraldifferenz, daß in der Formel: \[ (1)\qquad \varDelta I=\int^{x_2}_{x_1} f(x,y,y')dx-\int^{x_2}_{x_1} f(x,\eta,\eta')dx= \int^{x_2}_{x_1} E(x,y,\eta'+vu',y')dx+R, \] wo \(y =\eta(x)\) eine Extremale, \(u\) eine im Integrationsintervalle nicht verschwindende Lösung der zugehörigen \textit{Jacobi}schen Gleichung bedeutet, und \(y-\eta =v\cdot u\) gesetzt ist, der Rest \(R\) für hinlänglich kleines \(| y-\eta|\) gegen das davorstehende Integral über die \(E\)-Funktion verschwindet. (Vom Standpunkte der \textit{Weierstraß}schen Theorie: es stellt \(y = \eta(x) + \alpha\cdot u(x)\) in erster Annäherung ein Extremalenfeld dar; vernachlässigt man bei Umformung von \(\varDelta I\) den Unterschied zwischen dieser Kurvenschar und einem Extremalenfelde, so begeht man bei Beschränkung auf eine hinlänglich kleine Nachbarschaft der Extremale nur einen verschwindenden Fehler.) Aus (1) können nun unschwer die bekannten hinreichenden Bedingungen sowie der \textit{Osgood}sche Satz hergeleitet werden. Die Methode wird auch auf den Fall variabler Endpunkte übertragen. -- Durch Anwendung desselben Gedankens auf das Problem \(\int f(x, y, y',\dots, y^{(p)}) dx\) beweist der Verf. außer den bereits bekannten hinreichenden Bedingungen folgendes Theorem, das eine wesentliche Bereicherung unserer Kenntnisse bedeutet: Es genüge die Extremale \(y = \eta(x)\) der \textit{Jacobi}schen Bedingung; es sei auf ihr für alle \(y^{(p-1)}\), \(y(p)\): \[ f_{y(p),y(p)}^{\prime\prime}(x,\eta,\eta',\dots,\eta^{(p-2)},y^{(p-1)},y^{(p)})>0, \] und es sei für alle \(\eta, \eta',\dots,\eta^{(p-1)}\) hinlänglich wenig verschiedenen \(y, y',\dots, y^{(p-2)}\) und alle \(y^{(p-1)}\), \(\overline y^{(p)}, y^{(p)}\): \[ E(x, y, y',\dots, y^{(p-2)}, y^{(p-1)},\overline y^{(p)}, y^{(p)}) > 0\quad (\overline y^{(p)} - y^{(p)}\neq 0). \] Ist dann \(R\) beliebig groß gegeben, so gibt es ein \(r=0\), so daß die Extremale \(y = \eta(x)\) ein Minimum liefert gegenüber allen Vergleichskurven, für die: \[ | y -\eta|< r, | y'-\eta'| <r,\dots,| y^{(p-2)}-\eta^{(p-2)}|<r,\;| y^{(p-1)}-\eta^{(p-1)}| <R. \] An einem Beispiele wird gezeigt, daß hierbei die einschränkende Bedingung \(| y^{(p-1)}-\eta^{(p-1)}| < R\) nicht weggelassen werden darf.