Über zwei \textit{Euler}sche Aufgaben aus der Variationsrechnung. (Q1476966)

Sei \({\mathfrak K}_0\) eine fest gegebene, die beiden Punkte \(P_0\) und \(P_1\) der Ebene verbindende Kurve und (\({\mathfrak C}\) eine beliebige, dieselben Punkte verbindende Kurve, \(I_{{\mathfrak C}}\) die Länge von \(\mathfrak C\), \(K_{{\mathfrak C}}\) der (mit Vorzeichen versehene) Flächeninhalt, den \(\mathfrak C\) mit \({\mathfrak K}_0\) einschließt (d.h. der Wert des Integrales \(\frac12\int(xy' yx')dt\) erstreckt über \(\mathfrak C\) von \(P_0\) nach \(P_1\), sodann über \({\mathfrak K}_0\) von \(P_1\)i nach \(P_0\)). Unter der Voraussetzung, daß der Flächeninhalt, den die geradlinige Strecke \(P_0P_1\) mit \(R_0\) einschließt, positiv sei (ist er negativ, so sind im folgenden die Worte ``Maximum'' und ``Minimum'' zu vertauschen), werden die beiden folgenden Aufgaben behandelt: (1) Den Quotienten \(K_{{\mathfrak C}}/I_{{\mathfrak C}}\) zu einem Maximum zu machen, (2) das Produkt \(I_{{\mathfrak C}}\cdot K_{{\mathfrak C}}\) zu einem Minimum zu machen; und zwar handelt es sich nur um das relative Extremum (gegenüber benachbarten Vergleichskurven), da ein absolutes nicht vorhanden ist. Da die Lösung bei festgehaltenem \(I_{{\mathfrak C}}\) in der Aufgabe (1) \(K_{{\mathfrak C}}\) zu einem Maximum, in der Aufgabe (2) zu einem Minimum machen muß, kann sie nur ein Kreisbogen sein. Bezeichnet \(b^2\) den von der Strecke \(P_1 P_0\) mit \({\mathfrak K}_0\) eingeschlossenen Flächeninhalt, \(a\) die halbe Länge dieser Strecke, so gibt es bei der Aufgabe (1) keine oder eine (und zwar nur eine) Lösung, je nachdem \(\frac{b^2}{a^2}\leqq\frac{\pi}{2}\) oder \(> \frac{\pi'}{2}\). Besteht die Kurve \({\mathfrak K}_0\) aus den Ordinaten von \(P_0\) und \(P_1\) und dem zwischenliegenden Striche der \(x\)-Achse, so besagt bei gegebenem \(P_1\) die Bedingung für die Existenz einer Lösung, daß \(P_0\) im Innern einer gewissen Ellipse liegen muß. -- Ganz ähnliche Resultate gelten für die Aufgabe (2).