Über den ``Anormalen Fall'' beim \textit{Lagrange}schen und \textit{Mayer}schen Problem mit gemischten Bedingungen und variablen Endpunkten. (Q1476967)

Der Verf. beweist in dieser Arbeit die \textit{Lagrange}sche Multiplikatorenmethode für das Problem, den Ausdruck \[ \int^{t_1}_{t_0} f(y_1,\dots, y_n; y_1',\dots, y_n') dt + G(y_{10},\dots,y_{n0}; y_{11},\dots, y_{n1}) \] zu einem Extremum zu machen, mit der Nebenbedingung, daß die in Parameterdarstellung vorausgesetzten zulässigen Kurvenbogen \[ y_i=y_i (t)\quad (t_0\leq t\leq t_1) \] \[ \left.\begin{aligned} & p\text{ Differentialgleichungen }\varphi_a(y_1,\dots,y_n; y_1',\dots,y_n')=0\\ & \text{ und }q\text{ endlichen Gleichungen }\psi_\beta(y_1,\dots,y_n) = 0\end{aligned}\right\}\;(p+q<n-1) \] genügen sollen, während die Koordinaten \((y_{10},\dots,y_{n0})\), \((y_{11},\dots,y_{n1})\) der beiden Endpunkte der zulässigen Kurvenbogen \(r\) Bedingungsgleichungen \[ \chi_\gamma(y_{10},\dots,y_{n0};y_{11},\dots,y_{n1}) = 0 \] genügen. Hierbei ergeben sich einige, jedoch nicht tiefeinschneidende Vereinfachungen seiner Verallgemeinerung (F. d. M. 38, 406 (JFM 38.0406.*), 1907) der \textit{Hilbert}schen Methode. Nach dieser führt er das Variationsproblem auf das gewöhnliche Extremalproblem zurück, den Ausdruck \[ U(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{q+r+1}) =\int^{t_1}_{t_0}f({\mathfrak Y}_1, \dots, {\mathfrak Y}_n; {\mathfrak Y}_1',\dots,{\mathfrak Y}_n')dt + G({\mathfrak Y}_1(t_0),\dots,{\mathfrak Y}_n(t_0);{\mathfrak Y}_1(t_1),\dots,{\mathfrak Y}_n(t_1)) \] zu einem Extrem zu machen unter den Nebenbedingungen \[ \psi_\beta({\mathfrak Y}_1(t_0),\dots,{\mathfrak Y}_n(t_0)) = 0;\;\chi_\gamma({\mathfrak Y}_1(t_0),\dots,{\mathfrak Y}_n(t_0);{\mathfrak Y}_1(t),\dots,{\mathfrak Y}_n(t_1))= 0, \] wobei \({\mathfrak Y}_1,\dots,{\mathfrak Y}_n\) gewisse Funktionen von \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{q+r+1}\) sind. Besonderen Wert legt nun der Verf. darauf, daß die Anfangsbedingungen reduziert sind, d.h. daß sie die \(2q\) Gleichungen enthalten: \(\overset {0} \psi_i=\psi_i\) \((y_{10}, \dots,y_{n0})\), \(\overset {1}\psi_1 = \psi_i(y_{11},\dots,y_{n1})\) und daß (mit Ausschluß des Falles ``singulärer Endpunkte'') die Matrix \(\frac{\partial \overset {0}\psi_1,\dots,\overset {1}\psi_1,\chi_1,\dots,\chi_r}{\partial(y_{10},\dots y_{n0},y_{11},\dots y_{n1})}\) vom Range \(2q+r\leqq 2n\) ist. Unter Zugrundelegung reduzierter Anfangsbedingungen liegt der \textit{normale} oder der \textit{anormale} Fall vor, je nachdem es möglich ist, \(q+r+1\) Funktionensysteme \(\overset\sigma\eta_1,\dots,\overset\sigma\eta_n\) so zu wählen, daß die Matrix \[ \left.\frac{\partial(\psi^0_1,\dots,\psi^0_q,\chi_1,\dots,\chi_r)}{\partial (\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_{q+r+1})} \right|_{\varepsilon_1=\cdots=\varepsilon_{q+r+1}=0} \] vom Range \(q + r\) ist, oder nicht. Die \(\eta\) sind dabei zweimal stetig differenzierbare Funktionen, die den \(p + q\) Differentialgleichungen \((\alpha= 1,\dots,p+q)\) \[ \sum_i\;\frac{\partial\varphi_\alpha}{\partial y_i}\;\overset\sigma\eta_i + \frac{\partial\varphi_\alpha}{\partial y_i'}\;\overset\sigma\eta_i' =0\quad \left[\varphi_{p+\beta}=\sum_i\;\frac{\partial\psi_\beta}{\partial y^i}\;y_i'\right] \] genügen. Mit Hülfe dieser Verschärfung der zuerst von \textit{Hahn} stammenden Unterscheidung zeigt der Verf. nun, daß, wenn man beim \textit{Lagrange}schen Problem mit festen Endpunkten den Fall gemischter Bedingungen auf den Fall reiner Differentialbedingungen zurückführt, man im allgemeinen nicht auf den anormalen Fall kommt, wie dies nach der früheren Definition der Fall war. Er weist auch nochmals darauf hin, daß man das \textit{Mayer}sche Problem als Spezialfall des \textit{Lagrange}schen Problems mit einer frei variablen Endkoordinate auffassen kann. Der Zusatz S. 443 ist unrichtig, im anormalen Falle sind ja im allgemeinen die \textit{Hilbert}schen Multiplikatoren \(l_0,l_1,\dots,l_{q+r}\) in ihren Verhältnissen nicht eindeutig bestimmt, und es kann wohl auch eintreten, daß sich ein System von Multiplikatoren findet, bei dem \(l_0\neq 0\).