Neues Verfahren zur Herleitung der Differentialgleichung für das relative Extremum eines Integrals. (Q1476968)

Es sollen auf einem neuen Wege die Bedingungen erster Ordnung für ein Extremum des Integrals \(I=\int G(t,x,y,x',y')dt\) unter der Nebenbedingung \(H(t, x, y, x', y') = 0\) hergeleitet werden. Der Verf. nimmt zunächst in der vorliegenden Arbeit ohne weitere Prüfung an, daß dabei die Nebenbedingung \(H = 0\) durch die in den Variationen lineare Bedingung \(\delta H = 0\) ersetzt werden kann. Für \(dx\) wird eine Variation angesetzt von der Art, wie man sie bei Begründung des \textit{Du Bois-Reymond}schen Lemmas verwendet: \(dx\) ist überall \(= 0\), auch in der Umgebung zweier Stellen \(t_0\) und \(t_1\); in jeder dieser Umgebungen hat \(\delta x\) einerlei Zeichen. Läßt man diese Umgebungen auf die Stellen \(t_0\) und \(t_1\) zusammenschrumpfen, so kann das Verhalten der aus \(\delta H = 0\) zu berechnenden Variation \(\delta y\) leicht überblickt, insbesondere das Verschwinden von \(\delta y\) im Endpunkte der Integration einfach angesetzt werden. (Besonders übersichtlich gestaltet sich die Rechnung, wenn die Nebenbedingung \(H=0\) die Größen \(x\) und \(y\) nicht explizit enthält.) Man erhält so die gesuchte Bedingung erster Ordnung für das Extremum von \(I\) in einer von der durch die \textit{Lagrange}sche Multiplikatorenmethode gelieferten, etwas abweichenden Form: man erhält eine Differentialgleichung mit einer willkürlichen Konstante.