Über das Verhalten von Extremalenbogen, die den zum Anfangspunkt konjugierten Punkt enthalten, beim \textit{Lagrange}schen Problem der Variationsrechnung. (Q1476970)

Die von \textit{H. Hahn} auf Grund der Methode der gebrochenen Extremalen für das räumliche Variationsproblem durchgeführten Untersuchungen (F. d. M. 41, 436 (JFM 41.0436.*), 1910) werden auf das allgemeine \textit{Lagrange}sche Problem übertragen \((\int f(x, y_1,\dots,y_n)dx\) mit Nebenbedingungen). Wie dort, ergibt sich auch hier ein sehr einfacher Beweis der \textit{Jacobi}schen Bedingung. Auch hier zeigt sich aber, daß, wenn der Endpunkt \(x_1\) der Integration über den zum Anfangspunkt \(x_0\) konjugierten Punkt \(x^*_0\) hinausrückt, zunächst (bei positiv definitem Zeichen der \(E\)-Funktion) noch ein ``partielles'' Minimum in folgendem Sinne stattfindet: In jeder Nachbarschaft der Extremale finden sich Gebiete derart, daß gegenüber jeder hinlänglich benachbarten Vergleichskurve, die auch nur einen Punkt eines solchen Gebietes enthält, immer noch Minimum stattfindet. Kann ein solches Gebiet so gewählt werden, daß es (in der Umgebung eines Punktes der Extremale) eine durch diesen Punkt hindurchgehende, zur 2-Achse senkrechte lineare Mannigfaltigkeit von \(p\) Dimensionen, nicht aber von mehr Dimensionen enthält, so erniedrigt sich diese Zahl \(p\) jedesmal um \(n-r\) Einheiten, wenn der Endpunkt \(x_1\) eine Nullstelle der \textit{Mayer}schen Determinante \(\varDelta(x,x_0)\) wachsend durchschreitet, in der diese Determinante vom Range \(r\) ist. Sobald sich auf diesem Wege die Dimensionszahl \(p\) auf 0 reduziert, oder sobald \(x_1\) den zu \(x^*_0\) konjugierten Punkt überschreitet, hört das geschilderte partielle Minimum auf.