Über Annäherung durch Polynome mit lauter reellen Wurzeln. (Q1477025)

Der Verf. beweist folgende Sätze: Sind die sämtlichen Wurzeln der Polynome \(\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),\dots a)\) positiv, b) reell, und gilt gleichmäßig in irgendeinem den Nullpunkt enthaltenden Gebiet \(G\): \[ (1)\qquad F(x)=\lim_{n=\infty}\varPhi_n(x), \] so ist \(F(x)\) entweder identisch Null oder gleich dem Produkte von a) \(e^{-\gamma x}\), b) \(e^{-\gamma x^2}\) mit \(\gamma\geqq 0\) mit einer ganzen Funktion, die im Falle a) vom Geschlechte Null, im Falle b) vom Geschlechte Null oder 1 ist. Haben die Abschnitte einer Potenzreihe \({\mathfrak P}(x)\) nur Wurzeln, die a) positiv, b) reell sind, so stellt \({\mathfrak P}(x)\) eine ganze Funktion dar, die im Falle a) vom Geschlechte Null, im Falle b) vom Geschlechte Null oder 1 ist.