A theorem concerning Taylor's series. (Q1477036)

Der Verf. beweist zuerst folgenden Satz: Wenn \(f(x) = \sum a_n x^n\) für \(| x| < 1\) konvergiert und nach der Landauschen Bezeichnungsweise \(O(1 - | x|)^{-\alpha}\) ist, dann ist \(\sum| a_n|| x| =O(1-| x|)^{-a-\frac12}\) und für \(\alpha= 0\) sogar \(o(1-| x|)^{-\frac12}\). Sodann untersucht der Verf. ausführlich die Funktion \(f(x)=\sum n^{-b} e^{i^{n^\alpha}}x^n\), die von ihm und anderen, z. B. Fabry, schon mehrfach betrachtet worden war. Es gelingt, zu zeigen, daß diese Funktion in der längs derselben Achse 1 bis \(\infty\) aufgeschnittenen Ebene regulär ist; auch über das Verhalten in den anderen Blättern ihrer Riemannschen Fläche, wie auch über die Konvergenz der obigen Reihe auf ihrem Konvergenzkreis vermag der Verf. Aufschluß zu geben. Nebenbei gelangt er zu Beispielen von Potenzreihen, die auf ihrem Konvergenzkreise zwar gleichmäßig, aber nicht absolut konvergieren.