A function of two variables. (Q1477037)

In sehr vielen Fällen, in denen der Koeffizient \(a_n\) in einfacher analytischer Weise von \(n\) abhängt, läßt sich die Fortsetzung der Potenzreihe \(\sum a_nx^n\) übersehen. Viel verwickelter sind die Verhältnisse bei Potenzreihen \(\sum a_{mn}x^m y^n\), von denen ganz wenige Beispiele näher untersucht sind. In der vorliegenden Arbeit gelingt es dem Verf., den Fall \(a_{mn} = \exp (-\surd (\alpha m^2 + 2\beta mn + \gamma n^2))\) zu erledigen. Zwischen zwei zusammengehörigen Konvergenzradien \(r\), \(s\) besteht die Beziehung \(\gamma(\lg r)^2 2\beta\lg r \lg s +\alpha(\lg s)^2 = a\gamma- \beta^2\). Die Stellen \(x = r\), \(y = s\) sind singuläre, und die Funktion verhält sich an ihnen genau wie \(\frac{2\pi(\alpha\gamma-\beta^2)}{(\alpha\gamma-\beta^2-\alpha(\lg y)^2+2\beta\lg x\lg y-\gamma(\lg x)^2)^{3/2}}\). Der Verf. gibt noch weitere Entwicklungen und asymptotische Abschätzungen der Funktion in der Umgebung dieser singulären Stellen.