Résolution d'un problème concernant les surfaces de \textit{Riemann}. (Q1477073)

Wenn die zu einer gegebenen \textit{Riemann}schen Fläche gehörige algebraische Gleichung \(F(\overset {m} x, \overset {n} y) = 0\) gesucht wird, so ist \(n\) bekannt und weiter in der Zerlegung der Diskriminante \(\varDelta\) in ihren wesentlichen und nichtwesentlichen Faktor \(\varDelta = V. W\) der erstere \(V\) und sein Grad \(N\). Nennt man dann \(2A\) den unbekannten Grad von \(W\), so ergibt sich aus der Gleichung \(N + 2A = 2m(n -1)\) eine Reihe möglicher Zahlenpaare \(A, m\). Man beginne mit dem kleinsten \(m\), setze die Gleichung \(F = 0\) mit unbestimmten Koeffizienten an und bilde ihre Diskriminante \(\varDelta\). Beim Vorhandensein von Verzweigungspunkten im Unendlichen müssen die ersten Koeffizienten in der Entwicklung von \(\varDelta\) nach fallenden Potenzen von \(x\) Null sein; weiter muß dann der Best bei der Division von \(\varDelta\) durch \(V\) Null und der auftretende Quotient ein Quadrat sein. Aus diesen drei Eigenschaften ergeben sich Relationen zwischen den Koeffizienten von \(F\), und es müssen diese Koeffizienten dann noch so bestimmt werden, daß die durch die \textit{Riemann}sche Fläche vorgeschriebenen Verzweigungen eintreten. Ergeben sich die auftretenden Bedingungen als nicht miteinander verträglich, so muß der nächst größere Wert von \(m\) genommen werden. An einem einfachen Beispiele einer dreiblättrigen \textit{Riemann}schen Fläche mit zwei Verzweigungspunkten im Endlichen wird das geschilderte Verfahren von dem Verf. ganz durchgeführt und schließlich als entsprechende algebraische Gleichung \(y^3- 3y + 2x = 0\) ermittelt.