Sur la détermination des fonctions harmoniques. Application au carré. (Q1477082)

Man denke sich die Ebene der Variabeln \(x\) und \(y\) mit einem Netz von rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecken überzogen. Die Katheten sollen der \(x\)- oder der \(y\)-Achse parallel sein und die Länge \(h\) haben. Sei \((D)\) ein Gebiet, das aus einer endlichen Anzahl von Dreiecken besteht. Jedem Eckpunkt des Netzes in \((D)\) oder auf dem Rande \((C)\) von \((D)\) wird ein Wert \(z_{x,y}\) zugeordnet. Durch die Punkte \((x,y,z_{x,y})\) als räumliche Ecken wird eine Polyederfläche \(u(x, y)\) gelegt. Der Wert \(z_{x,y}\) wird so bestimmt, daß \[ I(u)=\iint_{(D)}\left[\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]dx\,dy \] bei vorgegebenen Werten in den Randecken des Netzes ein Minimum wird, was auf die Auflösung eines Systems linearer Gleichungen führt. In der Grenze \(h = 0\) reduziert sich das Problem auf das erste Randwertproblem der Potentialtheorie. In der zweiten Note wird das vorstehende Verfahren auf die Fläche eines Quadrats angewandt.