Relazioni tra gl' integrali semplici e gl' integrali multipli di \(1^{\text{a}}\) specie di una varietà algebrica. (Q1477090)

Wenn man zwei unabhängige einfache Integrale erster Gattung für eine algebraische Fläche kennt, so kann man stets nach \textit{Noether} (F. d. M. 19, 790 (JFM 19.0790.*), 1887) ein Doppelintegral erster Gattung herstellen, das von den beiden einfachen Integralen rational abhängt. Ähnliche Beziehungen bestehen, wie \textit{Severi} in der vorliegenden Arbeit zeigt, zwischen einfachen und mehrfachen -- doppelten, dreifachen,\dots, \(k\)-fachen -- Integralen erster Gattung einer Mannigfaltigkeit \(W_k\), die durch eine algebraische Gleichung zwischen \(k + 1\) Veränderlichen erklärt ist; diese Beziehungen ermöglichen es, wenn \(s\) unabhängige einfache Integrale erster Gattung gegeben sind, auf rationalem Wege ein \(s\)-faches Integral erster Gattung herzustellen. Es gelingt zwar leicht, indem man den von \textit{Noether} beschriebenen Weg verfolgt, eine Beziehung zwischen einfachen und \(k\)-fachen Integralen zu finden, allein die Zwischenstufen der 2-, 3-,\dots,\((k-1)\)-fachen Integrale erfordern tiefer dringende Hülfsmittel; um sie zu gewinnen, hat \textit{Severi} zunächst die Untersuchung für die algebraischen Flächen noch einmal aufgenommen und den Satz von \textit{Noether}, statt auf algorithmische Eigenschaften gewisser Polynome, auf geometrische Eigenschaften der Flächen zurückgeführt. Bei den Untersuchungen über die algebraischen Flächen wird zunächst bewiesen, daß jede Fläche \(F\) der Irregularität \(p > 0\) immer durch rationale Transformation aus einer Fläche \(\varPhi\) von derselben Irregularität hervorgeht, die der zur Fläche \(F\) gehörenden Mannigfaltigkeit \(V_p\) angehört. Ausgenommen ist nur der Fall, daß \(F\) einen irrationalen Büschel vom Geschlecht \(p\) besitzt; in diesem Falle geht \(F\) durch rationale Transformation aus einer Kurve vom Geschlecht \(p\) hervor, die auf \(V_p\) gezogen ist, und alle einfachen Integrale erster Gattung von \(F\) sind Funktionen eines unter ihnen. Sind \(u_1, u_2\) zwei der \(p\) einfachen Integrale erster Gattung von \(V_p\), so sind die Doppelintegrale erster Gattung dieser Mannigfaltigkeit von der Form \(\iint du_1du_2\); diesen einfachen und doppelten Integralen entsprechen einfache und doppelte Integrale auf \(\varPhi\) und diesen wiederum Integrale auf \(F\). Haben also \(\varPhi\) und \(F\) dieselbe Irregularität, so erhält man auf die angegebene Art sämtliche einfachen Integrale erster Gattung von \(F\) aus den einfachen Integralen \(u\) von \(V_p\); von den doppelten Integralen läßt sich nicht dasselbe behaupten. Weiter ergibt sich, daß die \textit{Jacobi}sche Determinante zweier einfachen Integrale erster Gattung der Fläche \(F(x, y,z)=0\) nach den beiden unabhängigen Veränderlichen \(x\) und \(y\) der Integrand eines Doppelintegrals erster Gattung ist, und darin besteht die von \textit{Noether} gefundene Beziehung. Um das für den Fall der algebraischen Flächen entwickelte Verfahren auf algebraische Mannigfaltigkeiten \(W_k\) anzuwenden, wird zuerst bewiesen, daß eine Mannigfaltigkeit \(W_k\) von der Flächenirregularität \(p > 0\) durch rationale Transformation aus einer Mannigfaltigkeit \(\varPhi_k\) von derselben Flächenirregularität \(p\) hervorgeht, die auf der zu \(W_k\) gehörenden Mannigfaltigkeit \(V_p\) gezogen ist. Ausgenommen ist der Fall, daß \(W_k\) ein System von \(\infty^{k-i}\) Mannigfaltigkeiten \(M_i\) \((1\leq i\leq k-1)\) enthält, denen dieselbe zweidimensionale Irregularität \(p\) zukommt; \(W_k\) ist dann durch rationale Transformation aus einer Mannigfaltigkeit \(\varPhi_{k-i}\) von der Flächenirregularität \(p\) hervorgegangen, die auf \(V_p\) liegt, und die \(k-i+1\) einfachen Integrale erster Art von \(W_k\) sind voneinander abhängig. Indem man jetzt beachtet, daß die doppelten, dreifachen, \dots Integrale erster Gattung von \(V_p\) von der Form \[ \iint du_1 du_2,\;\iiint du_1\,du_2\,du_3\dots \] sind, wo \(u_1, u_2, u_3,\dots\) die \(p\) einfachen Integrale erster Gattung von \(V_p\) bedeuten, ergibt sich die Herstellung von doppelten, dreifachen, \dots Integralen der Mannigfaltigkeit \(W_k\) aus den zugehörigen einfachen Integralen erster Gattung.