On a surface on which every arc is infinitely long (Q1477094)

Es sei \(f(x)\) eine für jedes reelle \(x\) definierte stetige Funktion, die in jedem Intervalle von nicht beschränkter Schwankung ist (z. B. eine nirgends derivierbare Funktion). Auf der Fläche \[ (1)\qquad z= f(y-f(x)) \] kann jede stetige Kurve durch die Gleichungen dargestellt werden \[ (2)\qquad x=\varphi(t),\;y=\psi(t),\;z=f(\psi(t))-f(\varphi(t))), \] wo \(\varphi(t)\), \(\psi(t)\) stetige Funktionen bedeuten, die nicht beide zugleich konstant sind. Wenn das Argument einer Funktion, die in keinem Intervalle von beschränkter Schwankung ist, selbst eine stetige, von einer Konstante verschiedene Funktion ist, dann ist diese zusammengesetzte Funktion selbst von nicht beschränkter Schwankung. Daraus folgt, daß keine Kurve der Gestalt (2) im Sinne von \textit{Jordan} (Cours d'Analyse Bd. I) rektifizierbar sein kann.