Zur elementaren Theorie der \textit{Landau}schen Funktion \(\varphi(a)\). (Q1477110)

Für reelles \(\alpha\) zwischen 0 und 1 ist, wenn \(\mu\) das arithmetisch-geometrische Mittel bedeutet, die Funktion \(\varPhi(\alpha) = \frac{2\pi\alpha(1-\alpha)}{\mu(1,\sqrt{\alpha})\mu(1,\sqrt{1-\alpha}}\) durch die Funktionalgleichungen \(\varPhi(\alpha)=\varPhi(1-\alpha)\) und \(\varPhi(\alpha)=\frac{\sqrt{\alpha}(1+\sqrt{\alpha})^3}{2(1-\sqrt{\alpha})}\;\varPhi\left(\frac{4\sqrt{\alpha}}{(1+\sqrt{\alpha})^2}\right)\), sowie die Nebenbedingung \(\lim_{\alpha=0}\;\frac{\varPhi(\alpha)}{\alpha\lg \frac1\alpha} = 2\) vollständig charakterisiert. Andrerseits ist elementar bewiesen, daß die genaue obere Grenze \(\varphi(\alpha)\) für den Radius eines Kreises, in dessen Inneren jede Potenzreihe \(\alpha +x +\cdots\) konvergent und von 0 und 1 verschieden ist, den nämlichen beiden Funktionalgleichungen genügt; indem der Verf. nun ebenfalls auf elementarem Wege zeigt, daß \(\varphi(\alpha)\) auch der erwähnten Nebenbedingung genügt, findet er \(\varphi(\alpha)\) identisch mit dem obigen Quotienten für \(\varPhi(\alpha)\), aus dem sich durch Umformung der \textit{Caratheodory}sche, die Modulfunktion benutzende Ausdruck von \(\varphi(a)\) gewinnen läßt. Durch die notwendige Beschränkung von \(\alpha\) auf das reelle Intervall \((0, 1)\) wird der Wert der vorliegenden Abhandlung beeinträchtigt.