Sur les fonctions de \textit{Bernoulli} et des sommes de puissances numériques. (Q1477123)

Ableitung einiger, zum Teil bekannter, Rekursionsformeln; die Summe \(\sigma_{2n}(p)=2\sum^{r=p-1}_{r=0}(-1)^r(p-r)^{2n}\) ist ein Polynom \(2n\)-ten Grades in \(p\) mit ganzzahligen Koeffizienten; die Summe \(\tau_n(p) = \sum^{r=p-1}_{r=0}(-1)^r(2p-2r-1)^n\) ist ein Polynom \(n\)-ten Grades in \(p\) mit ganzzahligen Koeffizienten, und man hat \[ \tau_{2n+1}(p)\equiv 0 (\text{mod.\,}p),\quad \tau_{2n}(2p)\equiv 0 (\text{mod.\,}8p^2). \] Polynome \(f(x)\) vom \(n\)-ten Grade, für die \[ (-1)^n f(-x-1)=f(x) \] ist, heißen regelmäßig (réguliers); solche sind unter andern die \textit{Bernoulli}schen Polynome. Mit dieser Eigenschaft hängen zahlreiche Rekursionsformeln zusammen.