Recherches sur le développement d'une fonction analytique en série de fonctions hypergéométriques. (Q1477137)

Die sehr umfangreiche Arbeit geht von Reihenentwicklungen aus, die zuerst von \textit{C. Neumann} gegeben worden sind: Bedeutet \(P_n(x)\) die \(n\)-te Kugelfunktion, so ist eine analytische Funktion, die im Innern einer Ellipse mit den Brennpunkten \(+1,-1\) regulär ist, dort in eine Reihe der Form \(f(x) =\varSigma A_n P_n(x)\) entwickelbar, mit von \(x\) unabhängigen Koeffizienten. In seinem Traité de fonctions métasphériques hat \textit{Nielsen} dieses Resultat schon erheblich verallgemeinert: Ist \(f(x)\) in einer Ellipse mit den Brennpunkten \(0, +1\) regulär, so läßt sich \(f(x)\) dort in eine Reihe der Form \(f(x) =\varSigma A_n F(\alpha + n,-n, \gamma, x)\) entwickeln, wo \(\alpha\) und \(\gamma\) willkürliche Parameter sind. Und endlich: Sind \(\alpha_1,\dots,\alpha_{p+1}\), \(\beta_1,\dots,\beta_p\) irgend \(2p+1\) Parameter, und wird \[ F_n(x)=\sum^\infty_{s=0}\;\frac{\varGamma(\alpha_1+n-s)\dots \varGamma(\alpha_{p+1}+n-s)}{s!\varGamma(\beta_1+n-s)\dots \varGamma(p_{p-1}+n+s)\varGamma(\beta_p+2n+s)}\;x^{n+s} \] gesetzt, und ist \(f(x) = f(y+iz)\) innerhalb der Kurve \[ (y^2+z^2)^2+\frac{y^2+z^2}{r(r=1)}\;y-\frac{y^2}{r(r=1)}-\frac{(2r+1)^2z^2}{4r^2(r+1)^2}=0\quad (r>0) \] regulär, so ist \(f(x)\) dort in eine Reihe der Form \[ f(x)=\textstyle\sum A_nF_n(x) \] entwickelbar. -- Es handelt sich dann weiter um Entwicklungen regulärer Funktionen in Reihen von den genannten und von noch komplizierteren Formen. Zahlreiche durchgeführte Beispiele liefern zum Teil interessante Nebenresultate.