Zahlentheoretische Lösung einer funktionentheoretischen Frage. (Q1477138)

Die Problemstellung stammt von \textit{Landau} (vgl. F. d. M. 42, 462 (JFM 42.0462.*), 1911), der die Frage nach allen (nicht trivialen) Fällen, in denen die hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion \(f(x)\) ihres vierten Argumentes darstellt, auf ein rein zahlentheoretisches Problem zurückgeführt hatte. Sind die Zahlen \(\alpha,\beta,\gamma\) rational, aber \(\alpha,\beta\), \(\alpha-\gamma\), \(\beta-\gamma\) nicht ganz, so fand \textit{Landau} (1904) ein einfaches notwendiges Kriterium dafür, daß \(f(x)\) algebraisch ist: setzt man \(\alpha =\frac am\)\,, \(\beta=\frac bm\)\,, \(\gamma=\frac cm\) mit \((a, b, c, m) = 1\), und sind \(a_1, b_1, c_1\) die kleinsten positiven Reste von \(a, b, c\) mod.\,\(m\), so muß \(c_1\) zwischen \(a_1\) und \(b_1\) liegen. Fast gleichzeitig fanden dann \textit{Stridsberg} und \textit{Landau} (1911/12): Es ist auch notwendig, daß für jedes zu \(m\) teilerfremde \(\varrho\) der kleinste positive Rest von \(\varrho c\) zwischen denen von \(\varrho a\) und \(\varrho b\) liegt. -- \textit{Landau} hatte nun die Frage nach allen Systemen ganzer Zahlen \(a, b, c, m\) aufgeworfen, die die ebengenannte ``\(\varrho\)-Bedingung'' erfüllen. Falls sich zeigen ließe, daß es außer den aus den \textit{Schwarz}schen Untersuchungen über den Gegenstand sich ergebenden keine weiteren gäbe, so hieße dies: Das Erfülltsein der \(\varrho\)-Bedingung ist auch hinreichend dafür, daß \(f(x)\) algebraisch ist. Die vorliegende Arbeit zeigt, daß dem in der Tat so ist.