Sur une classe de fonctions hypergéométriques. (Q1477139)

Reihen von der Form \[ 1+\frac{\alpha_0\cdot\alpha_1 \dots \alpha_n}{1\cdot \beta_1\dots \beta_n}\;z+\frac{\alpha_0(\alpha_0+1)\alpha_1(\alpha_1+1)\dots \alpha_n(\alpha_n+)}{1\cdot 2\cdot \beta_1(\beta_1+a)\dots \beta_n(\beta_n+1)}\;z^2+\cdots, \] als Funktionen der \(\alpha,\beta\) aufgefaßt, genügen gewissen linearen Differenzengleichungen zweiter Ordnung. Die vorliegende Abhandlung beschäftigt sich mit besonderen Funktionen dieser Art, die von vornherein durch die Eigenschaften ihrer singulären Punkte definiert werden. Die von dem Verf. in Betracht gezogenen Funktionen genügen der Differenzengleichung oder der leicht als Differenzengleichung zu schreibenden Funktionalgleichung: \[ (x + 2 -\gamma) (x +2-\gamma') U(x+2)- (2x^2 +Ax+B)U(x+1) +(x-\alpha)(x -\alpha') U(x) = 0, \] wo \(\alpha,\alpha',\beta,\beta', \gamma, \gamma'\) Konstanten sind und \[ A = 4 - \alpha - \alpha' - \gamma - \gamma',\quad B= \alpha\alpha'-\beta\beta' + (\gamma - 2) (\gamma'- 2),\;\beta + \beta' +\gamma + \gamma' =\alpha + \alpha' + 3. \] Es werden hierauf Reihenentwicklungen für diese Funktionen \(U(x)\) und ihre Darstellungen durch bestimmte Integrale gefunden. In besonderen Grenzfällen gehen diese Integrale in die hypergeometrischen Integrale über: \[ \int(t - a)^{a-1}(t - b)^{\beta-1} (t - z)^{\gamma-1} dt. \]