A generalization of \textit{Liouville}'s and \textit{Briot-Bouquet}'s theorem on doubly periodic functions. (Q1477144)

An das \textit{Liouville}sche Theorem, daß jede doppeltperiodische Funktion rational durch eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung \(M\) mit denselben Perioden und ihre Derivierte \(u'\) dargestellt werden kann, schließt Verf. die beiden folgenden Sätze an: 1. Jede doppeltperiodische Funktion ist rational ausdrückbar durch irgendeine doppeltperiodische Funktion \(u\) zweiter Ordnung und irgendeine andere doppeltperiodische Funktion beliebiger Ordnung \(v\), wenn die drei Funktionen dieselben Perioden besitzen. 2. Sind \(v\) und \(v_1\) irgend zwei doppeltperiodische Funktionen mit denselben Perioden, so existieren zwei rationale Funktionen irgendeiner doppeltperiodischen Funktion zweiter Ordnung \(u\) so, daß \(R(u)v + R_1(u)v_1 = 1\). An das \textit{Briot-Bouquet}sche Theorem, daß jede doppeltperiodische Funktion \(v\) rational durch irgendeine andere doppeltperiodische Funktion beliebiger Ordnung \(w\) mit denselben Perioden und ihre Derivierte dargestellt werden kann, schließt Verf. den Satz an: 3. Jede doppeltperiodische Funktion \(v\) ist rational darstellbar durch irgend zwei andere doppeltperiodische Funktionen \(w\) und \(W^4\), wenn die drei Funktionen dieselben Perioden besitzen.