Über eine Aufgabe von \textit{Hermite} aus der Theorie der Modulfunktionen. (Q1477154)

In dem Briefwechsel zwischen \textit{Hermite} und \textit{Stieltjes} 2, 148 kommt \textit{Hermite} bei der Betrachtung der Transformation zweiter Ordnung \(l = 2\sqrt{k}/(1 + k)\), indem er \(\omega = i K'/K\) und \(k=\varphi^4(\omega)\) setzt, auf die Funktionalgleichung \(\varphi^4(\frac12\omega)= 2\varphi^2(\omega)/(1+\varphi^4(\omega))\). Statt ihrer setzt der Verf. an \[ (2)\qquad f(\tfrac12\,t)=\frac{2\sqrt{f(t)}}{1+f(t)} \] und leitet aus ihr für die inverse Funktion \(F(x) = t\) von \(x =f(t)\) die Funktionalgleichung \[ (5)\qquad 2F\left(\frac{2\xi}{1+\xi^2}\right)=F(\xi^2) \] ab, die er für \(p=1\) die \textit{Gauß}sche Funktionalgleichung nennt wegen ihrer Beziehung auf das arithmetisch-geometrische Mittel. Die Untersuchung dieser Gleichung liefert neben einigen besonderen Ergebnissen den Satz: III. ``Eine monogene Lösung \(x = f(t)\) der \textit{Hermite}schen Funktionalgleichung (2), deren inverse Funktion in \(x = 1\) singulär, aber, multipliziert mit \(\log\;\frac{4}{\sqrt{1-x^2}}\), für \(x = 1\) bestimmt ist, geht aus der Modulfunktion \(\varphi(\omega)\) durch die Substitution \(Ct =\omega\) hervor, wo \(C\) eine von 0 verschiedene Konstante bedeutet.''