Das erweiterte Umkehrproblem der \textit{Abel}schen Integrale in der Geometrie der ebenen Kurven. (Q1477163)

Als erweitertes Umkehrungsproblem bezeichnet man nach \textit{Clebsch} und \textit{Gordan} die Aufgabe, \(k\) Punkte \(x_1,\dots,x_k\) eines algebraischen Gebildes vom Geschlechte \(p < k\) aus \(k\) Gleichungen zu bestimmen, von denen die ersten \(p\) Summen von je \(k\) Integralen erster Gattung, die letzten \(k-p\) aber Summen von je \(k\) Integralen dritter (oder zweiter) Gattung enthalten, in denen jedesmal die \(x\) als obere Grenzpunkte auftreten. Nimmt man an, daß die Grundkurve nur mit Doppelpunkten behaftet ist, und wählt die Integrale dritter Gattung so, daß jedes von ihnen in den beiden Zweigen eines Doppelpunktes logarithmisch unendlich wird, so treten für die \(x\) Teilscharen auf, welche durch Kurven ausgeschnitten werden können, die durch diese Doppelpunkte nicht hindurchgehen. Geht einer der Doppelpunkte in eine Spitze über, so hat an Stelle des Integrals dritter Gattung ein in dieser Spitze \(\infty^1\) werdendes Integral zweiter Gattung zu treten (\S\ 2). An diese einfachste Aufgabe knüpft sich naturgemäß die weitere an, auf Kurven mit ganz beliebigen Singularitäten jene Scharen zu studieren, die durch nicht adjungierte Kurven ausgeschnitten werden, d.h. durch Kurven, die in einem \(s\)-fachen Punkte der Grundkurve selbst nur einen \(\sigma\)-fachen \((\sigma < s)\) Punkt besitzen, sogenannte \(\sigma\)-Kurven. Bezüglich dieser \(\sigma\)-Kurven untersucht der Verf. (in den \S\S\ 3-5 für den Fall \(\sigma =0\), in den \S\S\ 6-8 für den Fall \(\sigma > 0\)) zuerst die Bedingungen, denen die Werte einer algebraischen Funktion, die durch Quotienten von \(\sigma\)-Kurven darstellbar ist, mit ihren Differentialquotienten in dem \(s\)-fachen Punkte der Grundkurve zu genügen haben, und gewinnt, indem er diese algebraischen Bedingungen in transzendente umsetzt, die entsprechenden verallgemeinerten Umkehrprobleme, von denen er dann endlich zeigt, daß sie im allgemeinen Falle eindeutig lösbar sind. \S\ 9 behandelt sodann den sogenannten unbestimmten Fall des Umkehrproblems. Am Schlusse der Abhandlung werden jene Kurven behandelt, welche in den beweglichen Punkten der Schar die Grundkurve von gegebener Ordnung berühren; dabei beschränkt sich aber der Verf. auf den Fall, daß die Grundkurve nur Doppelpunkte oder Spitzen erster Art besitze. Das allgemeinste Berührungsproblem ist dann das folgende: Gegeben ist eine durch gewisse der Doppelpunkte und Spitzen nicht hindurchgehende, in den restlichen sich adjungiert verhaltende Kurve \({\mathfrak A}\), die durch eine bestimmte Gruppe von Punkten einfach hindurchgeht und sonst die Grundkurve überall von gegebener Ordnung berührt; dann ist nach der Zahl der Systeme und der in ihnen enthaltenen Gruppen von sich ebenso wie \({\mathfrak A}\) verhaltenden Kurven gefragt.