Über ein gewisses Integral und eine einfache Darstellung der Kugelfunktionen erster Art. (Q1477165)

Der Verf. geht von der Frage aus, welche Beziehung zwischen den Koeffizienten \(a,b,c\) und dem (positiven und ganzzahligen) Exponenten \(m\) bestehen muß, damit das Integral \[ G_m=\int\;\frac{x^m dx}{\sqrt{ax^2+2b x+c}} \] rein algebraisch sei. Da \(G_m\) sich mittels der bekannten Formel \[ (1)\qquad G_m = (A_0 x^{m-1} + A_1 x^{m-2} +\cdots + A_{m-1})\sqrt{ax^2 + 2bx + c} +A_mG_0 \] auf das Integral \(G_0\) zurückführen läßt, so kommt die obige Frage auf die andere hinaus, wann in (1) \(A_m\) verschwindet. Nun liefert die Gleichung (1) durch Differentiation und Multiplikation mit \(\sqrt{ax^3+ 2b x + c}\) die zur Bestimmung der Koeffizienten \(A_0, A_1,\dots,A_m\) erforderlichen Gleichungen, und daraus ergibt sich \((-1)^m m! a^mA_m\) in Form einer Determinante \(m\)-ter Ordnung \(D_m\), in der alle Elemente gleich Null sind mit Ausnahme der Hauptdiagonale und der zu dieser oben und unten parallelen Reihen. Bei der Berechnung von \(D_m\) mit Hülfe der Unterdeterminanten gelangt man dann zu einer Rekursionsformel zwischen \(D_m, D_{m-1}\) und \(D_{m-2}\), und diese Rekursionsformel läßt sich auf die der Kugelfunktionen \(P_n(x)\) zurückführen. So ergibt sich als Hauptresultat: Die Bedingung, daß das Integral \(G_m\) rein algebraisch ist, kann im Falle \(ac\neq 0\), \(b\neq 0\) als eine Gleichung für \(b^2: ac = z^2\) aufgefaßt werden, die für gerade \(m\) mit der Gleichung \(P_m(z) = 0\) identisch ist, für ungerade \(m\) nach Absonderung des Faktors \(b\) mit \(\frac1z\, P_m(z) = 0\). Somit kann \(G_m\) für \(abc\neq 0\) nur dann rein algebraisch werden, wenn \(a\) und \(c\) gleiche Zeichen haben und \(b^2 < ac\) ist; und es gibt \(\frac m2\), resp. \(\frac{m-1}{2}\) verschiedene Werte von \(b^2: ac\), die obiger Gleichung (1), darin \(A_m = 0\) gesetzt, genügen. Aus der Determinante für \(A_m\) folgt ferner, daß \(m ! P_m(z)\) gleich einer Determinante ist, deren Hauptdiagonale durch die Elemente \(z, 3z, 5z,\dots, (2m -1)z\) gebildet wird, während in der nächsten oberen und der nächsten unteren, zur Hauptdiagonale parallelen Reihe \(1, 2,\dots, m-1\) auftreten, alle übrigen Elemente aber gleich Null sind. Diese, wie es scheint, neue Darstellung der Kugelfunktionen in Determinantenform ist einfacher als die bisher bekannten analogen Darstellungen.