Über ein Problem aus der Theorie der Kugelfunktionen. (Q1477171)

Aus der bekannten, nach Kosinus der Vielfachen von \(\vartheta\) fortschreitenden Reihe bei \(P_N(\cos\vartheta)\) leitet der Verf. den Wert für die Summe \[ \sum^{m=n}_{m=1} P_N\left(\cos\;\frac{2m\pi}{n}\right) \] ab, in der die Argumente durch Teilung des Kreisumfangs in \(n\) gleiche Teile sich ergeben. Für ungerade \(N < n\) ist jene Summe \(= 0\), während sie für gerade \(N\) \([N =2\nu < n]\) den Wert: \[ \frac{n[(2\nu)!]^2}{16^\nu(\nu!)^4} \] hat. Auch die Werte der Summe für \(N = n\) und \(N > n\) werden ermittelt; im letzteren Falle ergeben sich keine einfachen Resultate. Die Resultate werden benutzt, um für das Potential von \(n\) gleichen Massen, die in den Ecken eines regulären \(n\)-Ecks verteilt sind, und für die Resultierende der von diesen Massen ausgeübten Kräfte angenäherte Werte zu finden unter der Annahme, daß der angezogene Punkt auf der Verlängerung des nach einer Ecke gezogenen Radius liegt.