Developpements en série procédant suivant les inverses de polynomes donnés. (Q1477175)

Es seien \(P_0(x), P_1(x),\dots, P_n(x)\) gegebene Polynome, deren Grad gleich dem Index ist, und in denen die höchste Potenz den Faktor 1 hat. Die Wurzeln von \(P_n(x) = 0\) mögen ferner für alle \(n\) innerhalb eines in der komplexen Ebene um den Anfangspunkt beschriebenen Kreises vom Radius \(R\) liegen. Dann handelt es sich darum, \(1 : (x - y)\) in eine Reihe der Form \[ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{P_1(x)}+\frac{Q_1(y)}{P_2(x)}+\cdots+\frac{Q_{n-1}(y)}{P_n(x)}+\cdots \] zu entwickeln; darin sind die Zähler \(Q\) Polynome in \(y\), deren Grad durch den Index bezeichnet wird, und in denen der Koeffizient der höchsten Potenz ebenfalls \(= 1\) ist. Ist zunächst \(P_n(x) = (x - \lambda_n)^n\), so ergeben sich aus den Gleichungen \(Q^{(\nu)}_n(\lambda_{\nu+1}) = 0\) für \(\nu = 0,1,\dots, n-1\) die zur Bestimmung der Koeffizienten von \(Q_n\) nötigen Gleichungen. Um ferner jene Koeffizienten für den Fall zu bestimmen, daß die Wurzeln jedes der Polynome \(P_n(x)\) voneinander verschieden sind, zerlege man \(1 : P_\nu(x)\) in Partialbrüche: \[ \frac{1}{P_\nu(x)}=\frac{L_{\nu,1}}{x-\lambda_{\nu,1}}+\frac{L_{\nu,2}}{x-\lambda_{\nu,2}}+\cdots+\frac{L_{\nu,\nu}}{x-\lambda_{\nu,\nu}}\,, \] so gelten für \(\nu\neq n+1\) Gleichungen von der Form \[ L_{\nu,1}Q_n(\lambda_{\nu,1}) + L_{\nu,2}Q_n(\lambda_{\nu,2})+\cdots + L_{\nu,\nu} Q_n(\lambda_{\nu,\nu}) = 0. \] Setzt man in diesen der Reihe nach \(\nu = 1, 2,\dots,n\), so hat man \(n\) leicht auflösbare Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten der \(Q_n\).