Über die Abbildung der Strecke auf ein Quadrat. (Q1477227)

``Daß\ eine solche Abbildung, und zwar umkehrbar eindeutig, möglich sei, war eines der ersten Resultate von \textit{Cantors} Mengenlehre. Es wurde bald dahin ergänzt, daß\ eine solche eineindeutige Abbildung nicht stetig sein kann. Wir konstruieren hier in sehr allgemeiner Weise solche Abbildungen, bei denen die Abszisse des Quadratpunktes stetig mit dem Punkte der Strecke variiert.'' ``\textit{G. Peano} gelang es, eine stetige Abbildung der Strecke aufs Quadrat anzugeben: wie schon erwähnt, kann ihre Umkehrung nicht eindeutig sein. Wir verschärfen hier diese Tatsache dahin, daß\ bei jeder stetigen Abbildung einer Strecke auf ein Quadrat diejenigen Punkte des Quadrats, denen mindestens zwei Punkte der Strecke entsprechen, eine Menge von der Mächtigkeit des Kontinuums bilden, und daß\ es eine im Quadrat überall dicht liegende Menge von Punkten gibt, denen mindestens drei Punkte der Strecke entsprechen.'' Diese letzte Tatsache ist, wie der Verf. nachträglich bemerkt bat, schon früher von \textit{Lebesgue} ohne Beweis mitgeteilt worden (Math. Annalen 70; F. d. M. 41, 419 (JFM 41.0419.*) u. 1032, 1910). ``Wir zeigen endlich, wie die \textit{Peano} sche Abbildung so abgeändert werden kann, daß\ einem Punkte des Quadrats niemals mehr als drei Punkte der Strecke entsprechen'' (Vgl. \textit{G. Pólya}, S. 551 dieses Bandes.)