Zur Geometrie der Würfe: Ein Seitenstück zu projektiven Figuren. (Q1477398)

Unter dem Wurf eines geometrischen Gebildes versteht der Verf. den Inbegriff der projektiven Eigenschaften des Gebildes. Während projektive Figuren sich dadurch definieren lassen, daß\ für sie gleiche Koordinatenmatrizen erzielbar sind, definiert der Verf. kontrajektive Figuren dadurch, daß\ korrespondierende Koordinatenmatrizen für sie erzielbar sind. Korrespondierend heißen die Matrix der Koeffizienten eines Systems von unabhängigen homogenen linearen Gleichungen und die Matrix eines Systems seiner unabhängigen Lösungen. Der Verf. erhärtet an einer Reihe von Beispielen die folgende Regel: Überall da fehlen (bis zu dieser Stunde) die Verallgemeinerungen selbst einfacher und grundlegender Sätze der projektiven Geometrie, wo bei der Verallgemeinerung an Stelle von Figuren gleichen Wurfs, projektiven Figuren. Figuren entgegengesetzten Wurfs kontrajektive Figuren, einzuspringen hätten, oder besser gesagt, überall da, wo eine Kontrajektivität unter der Maske einer Projektivität sich verbirgt. So ergibt sich für den Satz \( ABCD \barwedge BADC, \) der für 4 Punkte einer Geraden gilt, die Möglichkeit folgender Verallgemeinerung für die Ebene: Die 6 Ecken zweier Dreiecke in der Ebene sind kontrajektiv zu ihren 6 Gegenseiten, und für den Raum: Die 8 Ecken zweier Tetraeder sind kontrajektiv zu ihren 8 Gegenebenen, und analog für höhere Räume. Auf ähnliche Weise verallgemeinert der Verf. 1. den Satz von \textit{v. Staudt,} nach welchem die 4 Punkte, welche auf einer Geraden durch Schnitt mit den 4 Seitenflächen eines Tetraeders hervorgehen, projektiv sind zu den 4 Ebenen, welche durch Verbindung der Geraden mit den 4 Gegenecken erhalten werden; 2. den Satz von \textit{Study}, daß\ bei zwei aufeinander bezogenen Tetraedern des \( R_3\) die Figur der 4 Verbindungslinien entsprechender Ecken projektiv ist zur Figur der 4 Schnittlinien entsprechender Ebenen; 3. den von ihm selbst herrührenden Satz, daß\ auf einer Seite eines vollständigen ebenen Fünfecks durch Schnitt mit den übrigen Seiten 5 Punkte entstehen, die in gewisser Reihenfolge projectiv sind zu den 5 Ecken des Fünfecks auf dem sie enthaltenden Kegelschnitt, und 4. den Satz von \textit{Desargues} über den Schnitt der Gegenseitenpaare eines vollständigen Vierecks mit einer Geraden seiner Ebene.