Das Schließungsproblem von \textit{Poncelet} und einige Erweiterungen. (Q1477413)

Nach einem einfachen analytischen Beweise des gewöhnlichen \textit{Poncelet} schen Schließungssatzes und einer Ergänzung desselben (1) werden ebenfalls analytisch zwei Erweiterungen (2, 3) abgeleitet: 1. Schreibt man einem Kegelschnitt \(f_{xx}= 0\) irgend 2 Dreiecke um, so liegen ihre 6 Ecken auf einem Kegelschnitt \(\varphi_{xx} = 0.\) Nun ordne man die Ecken der beiden Dreiecke einander in beliebiger Weise zu, dann bilden die Verbindungslinien entsprechender Ecken ein drittes Dreieck, und ein viertes Dreieck wird von den Verbindungslinien der Berührungspunkte entsprechender Seiten gebildet. Das dritte Dreieck ist einem Kegelschnitt des Büschels \( f_{xx}+ \varrho\varphi_{xx}=0\) umbeschrieben, und die Ecken des vierten sind die auf den Seiten des dritten liegenden Berührungspunkte. Es gibt im ganzen 6 derartige Dreieckspaare und 6 zugehörige Kegelschnitte im Büschel \(f_{\chi x} + \varrho \varphi_{xx} = 0.\) 2. Wird ein Kegelschnitt \(f\) von drei Kegelschnitten \(\chi_1, \chi_2, \chi_3\) je zweimal berührt, und sind \(g_1,g_2,g_3\) die zugehörigen Berührungssehnen, so sind ihre 12 Schnittpunkte paarweise koordiniert, insofern die Verbindungslinie eines jeden Paares eine Ecke des Dreiecks \(g_1, g_2, g_3\) enthält. Zu jedem Bogendreieck, dessen Seiten Teile der Kegelschnitte \(\chi_1, \chi_2, \chi_3\) bilden, gehört hiernach ein koordiniertes Bogendreieck. Die Ecken zweier koordinierten Bogendreiecke liegen entweder auf einem neuen Kegelschnitt \(\varphi,\) oder die Verbindungslinien koordinierter Ecken schneiden sich in einem Punkt. Im ersteren Falle berühren die Verbindungslinien koordinierter Ecken einen Kegelschnitt des Büschels \(f+\varrho\varphi=0,\) und zwar fallen ihre Berührungspunkte in die Ecken des Dreiecks \(g_1g_2g_3.\) 3. Ist ein Büschel von Kegelschnitten gegeben, und schreibt man einen von ihnen ein Dreieck ein, dessen Seiten drei weitere Kegelschnitte des Büschels berühren, so kann man jenem eine unendliche Schar von solchen Dreiecken einbeschreiben, deren Seiten diese drei Kegelschnitte berühren, sobald von den drei Berührungspunkten des Dreiecks eine gerade Zahl (0 oder 2) auf den Verlängerungen der Dreiecksseiten gelegen ist. Die drei Verbindungslinien homologer Ecken von irgend zwei Dreiecken der Schar berühren einen Kegelschnitt des Büschels, ihre Berührungspunkte bestimmen ein Dreieck, dessen Seiten die homologen Seiten der ursprünglichen Dreiecke in ihren Berührungspunkten treffen. Dieser Satz kann auf \(n\)-Ecke ausgedehnt werden