Sulla generazione di curve algebriche reali mediante ``piccola variazione'' di una curva spezzata. (Q1477525)

``In den Untersuchungen verschiedener Richtung wird die wirkliche Konstruktion von Kurven, die vorgegebene Bedingungen befriedigen, allgemein mittels kleiner Änderung einer zerfallenden (spezzata) Kurve bewirkt. Die Methode besteht darin, \(h \geqq 2\) Kurven \( f_i = 0\) von der Ordnung \(n_i (i = 1, 2, \dots, h) \) mit reellen Punkten und eine reelle Kurve \(g = 0\) von der Ordnung \( n_1 + n_2 + \dots + n_h\) einzuführen, die so gewähit sind, daß\ die Kurve \[ (\alpha)\;f_1 f_2\dots f_h +tg=0 \] für ein reelles \(t\) von passendem Vorzeichen und hinreichender Kleinheit die gewollte Eigenschaft besitzt. In der vorliegenden Abhandlung will ich die Methode der kleinen Änderung einer systematischen Behandlung unterwerfen. \(\dots\) In der Absicht, die beiden Ordnungen der Überlegungen rein geschieden zu halten, habe ich die Arbeit in zwei Teile geteilt. Der erste (\(\S\S\) 1-7) hat einen streng topologischen Inhalt, der zweite (\(\S\S\) 8-12) wendet die Schlüsse des ersten auf die reellen algebraischen Kurven an. Der \(\S\) 1 enthält einige Vorbereitungen über die Züge (circuiti) in der projektiven Ebene und über die durch ein System in endlicher Zahl vorhandener Züge erzeugten Gebiete. Für manche Unterscheidungen ist das Auftreten des Begriffes Segment zweiter Art in bezug auf einen geraden Zug zu beachten. Die \(\S\S\) 2-5 beziehen sich auf Systeme von Zügen, die der Bedingung unterliegen, daß\ durch einen Punkt der Ebene höchstens zwei Züge des Systems gehen. In \(\S\) 2 wird die kleine Änderung eines Systems \(\varSigma\) durch die Methode der Vereinigung untersucht, d. h. mittels einer topologischen Operation im Innern jedes gegenseitigen Schnittes \( O \) zwischen Zügen von \(\varSigma\). In \(\S\) 3 wird die Methode der Übergänge eingeführt, bei der die Betrachtung der geraden oder der ungeraden Zahl der Schnitte eines Segments (oder eines Zuges) mit seinem transformierten wesentlich ist (Parität der Übergänge). Bei der Bestimmung einer kleinen Änderung durch eine solche Methode treten die Begriffe des Streckenkomplexes und des Raumes auf. Der \(\S\) 4 stellt eine obere Grenze für die Zahl \(a'\) des aus \(\varSigma\) transformierten Systems \(\varSigma'\) auf. Wenn \(\varSigma\) \(a\) Züge besitzt und \( k \neq 0\) Durchschnitte, so wird bewiesen, daß \(a'\geqq a+k-2\) ist. Wird nun \(\varSigma\) als in \(h\) Systeme \(S_i\) zerlegbar angenommen, so daß\ Züge desselben \(S_i\) keine gegenseitigen Durchschnitte haben, so wird gefunden: \(a'\leqq a + k - 2(h - 1),\) sobald zwei Systeme \( S_i, S_j\) immer \(k_{ij} \neq 0\) gegenseitige Durchschnitte besitzen. Für \(h = 2, 3, 4\) kann die obere Grenze ein Maximum werden bei dem Auftreten besonderer Zweier, Dreier, Vierer von Zügen; für \( h > 4 \) ist dies jedoch ausgeschlossen. Die Annahme, daß\ die \( k_{ij}\) nicht notwendig alle \(\neq 0\) sind, führt zur Hineinnahme einer Konstante \(d\) und zu der Beziehung \(a' \leqq a+k -2 (k-d).\) Der \(\S\) 5 ist eine topologische Forschung der Zweier, Dreier, Vierer von Zügen, die zu den in \(\S\) 4 behandelten Maximalfällen gehören. Die ermittelten Typen sind in den Tafeln außerhalb des Textes dargestellt. In den \(\S\S\) 6, 7 wird eine vorgängige Beschränkung mit der Annahme aufgehoben, daß\ durch einen Punkt der Ebene mehr als zwei Züge von \(\varSigma\) gehen können. In \(\S\) 6 wird in diesem Sinne der Begriff der kleinen Änderung mit der Einführung passender elementarer Operationen verallgemeinert. In dem \(\S\) 7 werden die Ergebnisse des \(\S\) 4 auf die neuen Systeme ausgeführt. Der \(\S\) 8, mit dem der zweite Teil anhebt, untersucht die Kurve \((\alpha)\) unter den Voraussetzungen, daß\ durch einen reellen Punkt der Ebene höchstens zwei der \(f_i= 0\) gehen, und daß\ die Kurve \(g = 0\) keinen der gegenseitigen reellen Durchschnitte der \(f_i = 0\) enthält Es folgt, daß\ das aus den Zügen von \((\alpha)\) hervorgehende System \(\varSigma'\) sich aus dem System \(\varSigma\) der Züge der zerfallenden Kurve \(f_1f_2\dots f_n=0\) durch ein Verfahren der kleinen Änderung im Sinne der \(\S\S\) 2, 3 ergibt. Nun erhebt sich die Frage, ob umgekehrt eine bestimmte topologische kleine Änderung algebraisch in der angedeuteten Weise ausführbar sei. Der \(\S\) 9 beantwortet unter Beibehaltung der beschränkenden Voraussetzungen des \(\S\) 8 diese Frage bejahend. In dem Falle zweier Kurven \(f_1 = 0, f_2 = 0\) kommt die Behandlung auf die Konstruktion einer Kurve \(g = 0\) zurück, die (etwa eine Gerade ausgenommen) in ihrem wesentlichen Teile aus \( m \leqq \frac 12 n_1 n_2\) Ovalen gebildet ist, welche ebensoviele gegenseitige reelle Durchschnitte der \(f_1 = 0, f_2 = 0\) umschließen. Bemerkenswert ist das Auftreten der Kurven von der Ordnung \( \frac 12(n_1+n_2)\) oder \( \frac 12(n_1 + n_2- 1),\) die durch die erwähnten \( m \) Durchschnitte gehen. Für \(h>2\) Kurven \(f_i = 0\) gründet sich die Behandlung auf die des vorangehenden Falles \( h = 2.\) Der \(\S\) 10 löst durch wesentlich andere Methoden die Frage des \(\S\) 9 in einigen besonderen Fällen. Bei ihnen ist eine der \(f_i = 0\) eine Kurve des Geschlechtes \(p,\) die \(p + 1\) oder \(p\) Züge besitzt; die \(g = 0\) ist eine ihr adjungierte Kurve, bestimmt mit Hülle von Betrachtungen der Geometrie auf der Kurve. Der \(\S\) 11 hebt die oben erwähnten Beschränkungen des \(\S\) 8 auf; einer so erweiterten algebraischen kleinen Änderung entspricht eine topologische kleine Änderung in dem weiteren Sinne des \(\S\) 6. In dem \(\S\) 12 sind die notwendigen und die hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß\ eine algebraische kleine Änderung (in dem weiteren Sinne von \(\S\) 11) eine Kurve erzeugt, welche die Meistzahl der mit ihrer Ordnung verträglichen Züge besitzt. Mit Benutzung der Ergebnisse der \(\S\S\) 4 und 7 führt die Erörterung auf die einzigen fünf verschiedenen Typen, bei denen in jedem Falle die Anzahl der \(f_i = 0\) nicht größer als 4 ist.'' Die Arbeit, die in einer früheren Veröffentlichung des Verf. angekündigt wurde (F. d. M. 41, 650 (JFM 41.0650.*), 1910), schlägt einen so eigentümlichen Weg ein, daß\ es nötig schien, durch die Wiedergabe der Einleitung eine gewisse Vorstellung davon zu geben.