Über Parallelkurven von Epi- und Hypozykloiden. (Q1477647)

Die beim Abrollen eines Kreises auf einen andern von einem Punkte der Peripherie des ersteren beschriebenen Epi- und Hypozykloiden sind ihren Evoluten ähnlich; mithin sind die Evolventen einer solchen zugleich Parallelkurven einer ähnlichen Kurve. Wickelt man den ganzen Faden zwischen zwei Folgespitzen der Evolute ab, so hat die Evolvente in jeder zweiten Spitze der Evolute einen Spitzpunkt, kurz ``Spitzpunktevolvente'' vom Verf. benannt. Näher betrachtet wurden bisher die der Astroide (\textit{Ribaucour} sche Kurve vom Index - \(\frac13.\) und die der Nephroide (zweispitzige Epizykloide), eine als \textit{Cayley} - Sextik bezeichnete Sinusspirale vom Index \(\frac13.\) Der Verf. leitet einige Erzeugungen der Parallelkurven von Epi- und Hypozykloiden ab, insbesondere der Spitzpunktevolventen. Als Hauptsätze, die viele Spezialfälle einschließen, werden die folgenden drei hervorgehoben: I. Rollt ein Kreis auf einem andern ab, so hüllt eine beliebige Gerade in der Ebene des ersteren eine Parallelkurve einer Epi- oder Hypozykloide ein. II. Rollt auf der Innen- oder Außenseite einer Epi- oder Hypozykloide vom Modul \( n \) eine Kardioide oder eine Zykloide ab, so daß\ sich stets Scheitel und Spitze der rollenden und der Basiskurve entsprechen, so ergibt sich als Bahn des Poles oder als Einhüllende der Direktrix die Spitzpunktevolvente einer Epi- oder Hypozykloide vom Modul \( 2n. \) III Rollt eine Zykloide auf einer Epi- oder Hypozykloide vom Modul \( n \) in der definierten Weise ab, so hüllt eine Parallele zu ihrer Direktrix die Evolvente einer Epi- oder Hypozykloide vom Modul \(2n\) ein.