Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien. (Q1477678)

In der von \textit{D. Hilbert} angeregten Arbeit werden im ersten Kapitel die Ergebnisse von \textit{Darboux} (Leçons sur la théorie générale des surfaces 3, 4) und von \textit{Zoll} (Diss. 1901; F. d. M. 32, 614 (JFM 32.0614.*)) auf eine neue Art hergeleitet und vervollständigt Gegenstand des zweiten Kapitels ist eine gewisse Funktionalgleichung für Funktionen des Ortes auf der Kugel; sie kommt dann im dritten und vierten Kapitel zur Anwendung. Integriert man eine Funktion des Ortes auf der Kugel längs eines größten Kreises, so ist im allgemeinen der Wert des Integrals eine Funktion der Parameter, die den Kreis charakterisieren. Der Verf. bezeichnet sie als Kreisintegralfunktion und löst auf zweifache Art die Aufgabe: Wie bestimmt sich eine Funktion des Ortes auf der Kugel, wenn ihre Kreisintegralfunktion bekannt ist? Die erste Lösung benutzt Kugelfunktionen; die zweite besteht in der Zurückführung der vorgelegten Aufgabe auf die Auflösung der \textit{Abel} schen Integralgleichung. Im dritten Kapitel wird der \textit{Stäckel} sche Ansatz (J. für Math. 130; F. d. M. 36, 671 (JFM 36.0671.*), 1905) zur Behandlung der \textit{Liouville} schen Flächen durch einen einfacheren ersetzt und die bei ihm offen gebliebene Frage beantwortet. Das vierte Kapitel enthält einen Ansatz zur allgemeinen Lösung der Aufgabe: Wie muß\ man die Kugel variieren, damit aus ihr wieder eine Fläche mit lauter geschlossenen geodätischen Linien entsteht? Dieser letztere Gedanke rührt von \textit{Hilbert} her und hat die Anregung zu den im zweiten Kapitel entwickelten und im dritten und vierten Kapitel angewandten Betrachtungen über die Kreisintegralfunktion gegeben. - Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen werden in dem Verschwinden gewisser bestimmter Integrale gefunden. Um daraus sämtliche regulären Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien ohne Doppelpunkt aufzustellen, wäre allerdings noch eine Konvergenzbedingung zu erfüllen und eine Bedingung anzugeben, der die konforme Abbildung der Fläche auf die Kugel zu genügen hat. Die ersten drei Kapitel dieser Arbeit stimmen, abgesehen von unwesentlichen Anderungen im zweiten Kapitel, mit denen der unter demselben Titel erschienenen Dissertation des Verf. (Göttingen, 1911) überein, die im Jahrbuch 42 nur mit dem Titel erwähnt ist, weil der Verf. kein Exemplar der Schriftleitung übersandt hatte.