Zur Differentialgeometrie algebraischer Flächen. (Q1477723)

Es handelt sich um die Untersuchung von regulären Punkten auf algebraischen Flächen \(n\)-ter Ordnung \(F_n\). Bedeuten \(x_1, x_2, x_3, x_4\) homogene rechtwinklige Punktkoordinaten, so empfiehlt es sich, um die Methoden der Symbolik quaternärer Formen zur Anwendung zu bringen, die Fläche durch eine irreduzible Gleichung \( F(x_1, \dots, x_4) \equiv (ax)^n = 0\) als gegeben anzunehmen, wo Veränderliche und Koeffizienten gewöhnliche komplexe Größen sind. Das wesentlichste Hülfsmittel besteht in einem Übertragungsprinzip (\(\S\) 8), das einen Zusammenhang zwischen quaternären und denjenigen binären Differentialformen herstellt, durch die die verschiedenen Fortschreitungsrichtungen im Tangentenbüschel eines Flächenpunktes gegeben werden. Einige Bezeichnungen sind vorerst zu erklären. Der Index \(i\) laufe von 1 bis 4. Ein Faktor erster Art. \( (ab) \equiv (ba)\) ist die Summe \(\varSigma a_i b_i.\) Ein Faktor zweiter Art oder Klammerfaktor \((abcd)\) ist die Determinante \((a_i, b_i, c_i, d_i).\) Zwischen den Faktoren erster und zweiter Art bestehen drei grundlegende Identitäten \((a), (b), (c). \) Ferner sei \((ab)_{ik} = a_ib_k - a_k b_i (i \neq k). \) Die Summe \( \varSigma (ab)_{ik} (cd)_{ik}\) wird abgekürzt in \( ((ab)(cd)); \) dieser Ausdruck ist gleich \((d)(ac)(bd) - (ad)(bc); \) statt der Summe \( \varSigma (ab)_{ik} (cd)_{mn}\) darf \((abcd)\) gesetzt werden. Die vier Determinanten der Matrix \((b_1, c_1, d_1)\) werden mit \(\alpha_1, \dots, \alpha_4\) bezeichnet. Bedeuten die \(u\) das Entsprechende für die Matrix \((y_i, z_i, t_i),\) so schreibt man \( \varSigma (bcd)_i(yzt)_i = ((bcd)(yzt)), \) ein Ausdruck, der sich \((f)\) als dreireihige Determinante der \((by)\dots\) darstellen läßt. Verschwindet endlich ein Ausdruck \( F \equiv F(x_i, y_i, \dots, u_i, v_i, \dots )\) für alle \(x_i,\) so dient dafür das Zeichen \( F \equiv 0\,\, \{x\}.\) Zunächst wird ein eigentlicher, regulärer Flächenpunkt \((x) = (x_1, x_2, x_3, x_4) \) untersucht, wo \(x_4 = 1,\) oder in symbolischer Form \[ (lx) \equiv 0. x_1 + 0. x_2 + 0. x_3+ 1. x_4 \] festgesetzt wird. Dagegen heißt ein Punkt \((y)\) mit \(y_4 = 0\) ein uneigentlicher Punkt; die uneigentliche Ebene \(l\) ist gegeben durch \( (lx) \equiv x_4 = 0.\) Der Kugelkreis \( I \) ist der Schnitt von \((l_x) = 0\) mit der Fläche \(\varPhi_{xx} \equiv (xx) = \varSigma x_i^2 = 0;\) in Ebenenkoordinaten \(u\) ist seine Gleichung \(\varPhi_{uu} \equiv u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 \equiv (u/u) = 0,\) und in Linienkoordinaten \(\pi : \pi_{14}^2 + \pi_{24}^2 + \pi_{34}^2 = 0.\) Wie gewöhnlich dient als Ausgangspunkt die ``Schnittpunktegleichung'' für die Schnittpunkte einer irreduziblen Fläche \( F \equiv (ax)^n = 0\) mit einer Geraden \((y + \lambda z),\) woraus sich sofort die Gleichung einer Tangentialebene von \( F \) ergibt. Durch einen Flächenpunkt \((y)\) gehen zwei dreipunktig berührende Tangenten, die Haupttangenten oder Asymptoten; die Differentialgleichungen der Haupttangentenkurven stellen sich symbolisch einfach dar. Sodann werden die Minimalrichtungen und Hauptkrümmungsrichtungen aufgestellt und die sphärische Abbildung entwickelt. Darauf wird der Zusammenhang der hier entwickelten symbolischen Darstellungsweise der Fortschrittsrichtungen auf \( F \) von einem Punkte \((y)\) aus mit der sonst in der Flächentheorie gebräuchlichen Formelsprache erörtert. Bei der letzteren hat man es mit binären (quadratischen) Differentialformen zu tun, hier dagegen zuvörderst mit quaternären Differentialformen in den \(dy_i, \) die erst vermöge zweier in den \( dy_i \) linearen und homogenen Bezichungen auf das binäre Gebiet reduziert werden. So z. B. tritt die Form \( (ady)^2(ay)^{n-2}\) an Stelle der Fundamentalgrößen zweiter Ordnung \( L, M, N. \) Sei weiter \(M \equiv (mdy)^k\) eine quaternäre Differentialform vom Grade \( k \) in den \(dy.\) Vom Punkte \((y)\) gehen vermöge \( M = 0\) \( k \) Fortschreitungsrichtungen aus, deren uneigentliche Punkte, d. h. Treffpunkte mit der uneigentliehen Geraden \( \gamma \) der Tangentialebene \(v\) durch die Gleichung bestimmt werden: \[ M' \equiv (muvl)^k = 0. \] Daraus entspringt ein fruchtbares Übertragungsprinzip zwischen binären und quaternären Differentialformen. Es seien \( M \equiv (m dy)^k, N \equiv (n dy)^r, \dots, \) quaternäre Formen, \( M' \equiv (t\mu)^k, N' \equiv (t\nu)^r, \dots \) die zugehörigen binären Formen im Tangentenbüschel durch \((y).\) Ist dann \(\varphi\) eine Kovariante (Invariante) der \(M', N', \dots,\) so erhält man die zugehörigen quaternären Bildungen, wenn man die symbolischen Faktoren \((\mu \nu)\) und \((t\mu)\) durch \( (mn\, vl) \) und \((m\, dy)\) ersetzt. Damit lassen sich die In- und Kovarianten der vier Fundamentalen binären quadratischen Formen, die den Haupttangentenrichtungen, Minimalrichtungen, Hauptkrümmungsrichtungen, endlich den Richtungen, deren sphärische Bilder Minimalrichtungen sind, entsprechen, durch die korrespondierenden quaternären Bildungen ausdrücken. Aus den so gewonnenen Formeln wird eine Reihe bemerkenswerter geometrischer Folgerungen gezogen, so die Existenz von wenigstens einer algebraischen Krümmungslinie auf \( F, \) das Kriterium für eine Minimalfläche \(F,\) die Krümmungsradien der Normalschnitte u. a. m. Am Schlusse wird noch ein Beispiel für eine höhere (kubische) quaternäre Differentialform gegeben. Es gibt durch den Punkt \((y)\) drei Tangenten an ``\(D\)-Linien'' auf \( F, \) deren Schmiegungsebenen durch die Flächennormale von \((y)\) gehen. Die Differentialgleichung dieser ``\(D\)-Linien''der Normalschnitte'' wird aufgestellt. Durch vorliegende Abhandlung eröffnet sich eine neue fruchtbare Anwendung der Invariantensymbolik auf die Differentialgeometrie.