Über die Haupttangentenkurven auf den Netzflächen. (Q1477739)

Es sei \(K\) ein allgemeiner linearer Komplex und \( L \) eine windschiefe Linienfläche. Sind die Erzeugenden von \( L \) in \( K \) enthalten, so ist nach \textit{Lie} und \textit{Klein} (F. d. M. 4, 408 (JFM 04.0408.*), 411, 1872) die Linienfläche \(H\) der \(K\) angehörigen Haupttangenten developpabel, und ihre Rückkehrkurve ist eine Haupttangentenkurve von \( L. \) Ist die Fläche \( L \) algebraisch, so besitzt sie daher (mindestens) eine algebraische Haupttangentenkurve. Die Haupttangentenkurven einer algebraischen ``Netzfläche'', deren Erzeugende einem Büschel von \( K \) angehören, sind sämtlich algebraisch, vgl. \textit{Voß} (F. d. M. 6, 524 (JFM 06.0524.*), 1874). Die Ergebnisse von \textit{Voß} beschränken sich auf irreduzible Flächen, die vollständige Schnitte von drei Komplexen sind. Der Verf. untersucht die Netzflächen mittels der Abbildung der Geometrie in einer linearen Kongruenz auf die Punktgeometrie einer gewöhnlichen Fläche zweiten Grades \( F_2. \) Hierdurch werden auch unvollständige Schnitte von drei Komplexen berücksichtigt, sowie höhere Singularitäten, und es läßt sich die Reduzibilität der Haupttangentenkurven auf irreduzibeln algebraischen Netzflächen untersuchen, die Flächen mögen rational oder nichtrational sein. Die Untersuchung dieser Reduzibilität wird wesentlich unterstützt durch das Studium des Verlaufs der Haupttangentenkurven auf den Flächen. Als instruktives Beispiel dient das Zylindroid. Was die Methode der Untersuchung anlangt, so erscheint vermöge der \textit{Plücker} schen Koordinaten die Liniengeometrie als die Punktgeometrie auf einer allgemeinen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit zweiten Grades \( M_2 \) im \(R_3\). Den geraden Linien der \( M_2\) entsprechen im \( R_3\) die Strahlenbüschel. Die Geometrie der linearen Kongruenz erscheint als die Geometrie auf einer gewöhnlichen \( F_2\) die entweder eine eigentliche, geradlinige oder nicht geradlinige ist, oder aber, bei der parabolischen Kongruenz, ein irreduzibler Kegel zweiter Ordnung. Die Netzflächen sind die Bilder der Kurven auf den (irreduziblen) \( F_2 \) und umgekehrt. Führt man die stereographische Projektion der \( F_2\) ein, so wird das stereographische Bild einer Kurve auf der \( F_2\) reell projektiv äquivalent dem Schnitte der Netzfläche mit einer Ebene, die das Bild des Projektionszentrums enthält. Es stimmen also Grad (= Ordnung = Klasse), Rang und Geschlecht einer algebraischen Netzfläche überein mit den entsprechenden Anzahlen ihres \textit{Plücker}schen Bildes. Die Netzflächen besitzen den Charakter des ``Hyperbolischen'', indem der Satz gilt: Irgend vier verschiedene diskrete oder konsekutive windschiefe Erzeugende einer Netzfläche, die gleichzeitig von einer geraden Linie allgemeiner Lage geschnitten werden, sind Erzeugende einer Regelschar zweiter Ordnung. Die Haupttangentenkurven der Netzflächen lassen sich liniengeometrisch auf zwei Arten erzeugen. Einmal besteht die Kongruenz, die ein allgemeiner linearer Komplex mit dem Tangentenkomplex einer ihm angehörenden Linienfläche gemein hat, aus den Schmiegungsstrahlen einer Haupttangentenkurve der Fläche; andrerseits ist diese Kurve der Ort der Berührungspunkte der dem linearen Komplex angehörenden Doppeltangenten. Unter einer Dorsallinie einer windschiefen Fläche versteht man eine Erzeugende, die von einer konsekutiven Erzeugenden geschnitten wird; der Schnittpunkt der Erzeugenden heißt Kuspidalpunkt, ihre Ebene parabolische Ebene. Die Dorsallinien einer Netzfläche entsprechen den Berührungspunkten ihres \textit{Plücker} sehen Bildes mit den Erzeugenden der \( F_2.\) Insbesondere werden die Dorsallinien der algebraischen Netzflächen \( (n_1, n_2) \) mit diskreten \( (n_1- \) und \(n_2\)- fachen) Leitgeraden untersucht, sowie der Veriauf der Haupttangentenkurven auf den Flächen \( (n_1, n_2).\) Die letzteren Kurven können sowohl mit den Leitgeraden der Fläche, wie mit deren Dorsallinien ausschließlich die Kuspidalpunkte gemein haben, und die (von selbst algebraischen) Haupttangentenkurven einer algebraischen Netzfläche haben einen \(k\)-fachen Kuspidalpunkt der Fläche zum \(k\)-fachen Punkte. Insbesondere wird festgestellt, welches die reellen Züge einer Haupttangentenkurve sind. Als Beispiel dient die als ``\textit{Cayley} sches Zylindroid'' (oder ``\textit{Plücker} -sches Konoid'') bekannte Linienfläche dritten Grades, der Ort der Lote, die von den Punkten einer auf einem Rotationszylinder liegenden Ellipse auf eine Erzeugende - die Achse der Fläche gefällt werden. Ihre Gleichung ist: \( z(x^2 + y^2) - 2cxy = 0.\) Die Haupttangentenkurven sind im Endlichen verlaufende rationale Kurven vierter Ordnung, die durch Spiegelung an der Achse in sich übergehen. Weiter wird für die Haupttangentenkurven auf den algebraischen Flächen \( (n_1, n_2) \) vom Geschlecht \(p\) eine Reihe charakteristischer Zahlen ermittelt und untersucht, wann diese Kurven auf irreduziblen Flächen reduzibel sind. Für das Zerfallen der Kurven ist notwendig, daß\ die Fläche keine oder nur Dorsallinien gerader Ordnung besitzt; für die rationalen Flächen \((p= 0),\) und nur für diese, ist die Bedingung auch hinreichend. Das einfachste Beispiel einer Fläche mit zerfallenden Haupttangentenkurven ist die Netzfläche vierten Grades zweiter Art mit zwei Dorsallinien zweiter Ordnung, der Ort der Schmiegungsstrahlen einer kubischen Raumkurve, die eine Sehne treffen. Am Schluß\ werden die algebraischen parabolischen Netzflächen \([\alpha, \beta]\) untersucht. Diese Flächen, vom Grade \( n, \) können aufgefaßt werden als spezielle Fälle derjenigen allgemeinen Netzfläche \( (n_1, n_2) \) vom Grade \( n, \) für die \( n_1 = n_2\) oder, bei ungeradem \(n, n_1-n_2 = \pm 1\) ist. Die Fläche hat in jedem Punkte ihrer Leitgeraden eine \(\alpha\)-fache Tangente, und die Leitgerade ist \(\beta\)-fache Dorsallinie, wo \( n = 2\alpha + \beta\) ist. Die Haupttangentenkurven dieser Flächen haben wesentlich andere Eigenschaften als die der allgemeinen Flächen. Eine gewöhnliche Rückkehrerzeugende der Fläche ist gewöhnliche Tangente usf.