Les correspondances algébriques existant sur les courbes d'un système linéaire tracées sur une surface. (Q1477741)

Unter \( F \) sei eine reguläre algebraische Fläche verstanden, so daß\ das geometrische Geschlecht \(p_g\) mit dem arithmetischen \( p_a \) übereinstimmt, und unter \(|C|\) ein lineares irreduzibles \(\infty^v (v \geqq 1)\) System von Kurven auf \( F, \) vom Geschlecht \(p\) und einem Grade \(> 0\). Es handelt sich um die Charakterisierung der algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten einer allgemeinen Kurve \( C \) des Systems. Es gilt dann der Satz, daß\ jede solche Korrespondenz \((\alpha, \beta)\) eine Wertigkeit \( \gamma \) besitzt, wo \(\gamma (\gtreqqless 0)\) eine ganze Zahl ist. Im besondern folgt, daß\ jede ebene veränderliche Kurve eines linearen Systems nur Wertigkeitskorrespondenzen besitzt. Eine Folge davon ist, daß\ die von \textit{Hurwitz} (F. d. M. 18, 626 (JFM 18.0626.*), 1886) zwischen den \(\frac 12p(p + 1)\) Perioden der Normalintegrale erster Gattung einer Kurve vom Geschlecht \(p,\) die singuläre Korrespondenzen besitzt, unabhängig sind von den \(\frac 12(p - 2)(p - 3)\) \textit{unbekannten} Relationen, die zwischen \(\frac 12 p(p + 1)\) Größen bestehen müssen, damit sie zu obigen Perioden werden. Besitzt die Fläche \( F \) die Irregularität \(q = p_g - p_a> 0,\) so gelangt man nach geeigneter Aufstellung der erforderlichen Integrale zu dem Schlusse: Die stetigen Systeme singulärer Korrespondenzen auf der allgemeinen Flächenkurve eines linearen Systems \( |C| \) von positivem Grade werden eindeutig bestimmt durch die entsprechenden Systeme auf der mit \( F \) verknüpften \textit{Picard} -schen Fläche. Die Anzahl der unabhängigen Korrespondenzen auf \( C \) ist \(\leqq 2q^2,\) und es lassen sich Flächen konstruieren, wo die obere Grenze \(2q^2\) erreicht wird.