The range of minimal surfaces providing a minimal area. (Q1477796)

``Auch in dem Falle der Mininialflächen werden Kriterien seitens der Variationsrechnung gefordert. Eines von ihnen ist die \textit{Lagrange} sche Gleichung oder ihr Äquivälent in irgendeiner Gestalt. Ihm wird vollständig genügt durch die \textit{Weierstraß} schen Gleichungen für die allgemeine Oberfläche und durch die spezielle Gleichung (oder Gleichungen) für jede besondere Oberfläche. Das Kriterium durch die Exzeßfunktion wird für alle Minimalflächen befriedigt. Die übrigen Kriterien betreffen die zweite Variation des den Flächeninhalt darstellenden Integrals. Alle, mit Ausnahme eines von ihnen, werden für alle reellen Minimalflächen befriedigt. Jenes letzte verlangt eine mögliche Grenze für die Lage einer schließlichen Schranke (boundary), bis zu der eine durch eine vorgegebene anfängliche Schranke gehende Minimalfläche reichen kann, wenn sie einen wirklichen Minimalinhalt im Raume zwischen den beiden Schranken liefern soll. Soweit es nur bekannt ist, hat dieser Umstand der Frage wenig Beachtung gefunden. Der Zweck der vorliegenden Abhandlung ist der, eine Grenze für den Bereich (range) der Fläche (falls irgendeine solche Grenze besteht) zu finden, die zu einem beliebigen vorgegebenen Perimeter auf einer Minimalfläche konjugiert ist. Ferner kann ein vorgegebener ``Perimeter'' eine geschlossene Kurve auf der Fläche sein, und dann ist der Begriff eines konjugierten einfach. Wenn aber ein vorgegebener Perimeter nicht eine geschlossene Kurve ist (was eintritt, wenn wir eine ebene Krümmungslinie auf einer algebraischen Oberfläche ungerader Ordnung haben), so ist der Begriff eines konjugierten weniger einfach. Es ist nämlich denkbar, daß\ nur ein Stück eines solchen anfänglichen Perimeters als eine Schranke für einen wirklichen Minimalinhalt zulässig wäre. Diese letzte Frage wird jedoch in der vorliegenden Arbeit nicht erörtert.'' Als Hauptergebnis ist der Satz abgeleitet: ``Durch die vorgegebene Anfangsschranke \( C_0\) der Minimalfläche werde eine folgende Minimalfläche gelegt; diese schneide die ursprüngliche Minimalfläche (wenn überhaupt) in einer andern Kurve \( C_1, \) wo dies der früheste Schnitt nach \( C_0\) ist. Die in \( C_0\) beginnende Minimalfläche kann sich nicht so weit wie \( C_1\) ausdehnen, wenn ein Minimuminhalt im Raum zwischen den beiden Kurven durch die Minimalfläche geliefert wird.'' Der Satz wird erläutert und an einigen Beispielen geprüft.